小结第一课时导学案

霍

城

县

江

苏

中

学

教

案

课题

§3.4基本不等式abab

2班级

知识

与

技能

过程

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

通过实例探究抽象基本不等式；

与

教学目标

方法

情感

态度

与价

值观

通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式重点

重、难点

难点

abab的证明过程；

2基本不等式abab等号成立条件

2三角板，彩色粉笔

教学用具

课时安排

1 教 学 过 程

1

一、引入新课

基本不等式abab的几何背景：

2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

二、新课教学

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：22a2b22ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有ab2ab。

2．得到结论：一般的，如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

a2b22ab(ab)2

当22ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)0，即(ab)2ab.

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab222ab

2特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得ab2ab，

ab(a>0,b>0)

2ab

2）从不等式的性质推导基本不等式ab

2通常我们把上式写作：ab

2

用分析法证明：

要证 abab (1) 2只要证 a+b (2) 要证（2），只要证 a+b- 0 （3）

要证（3），只要证 （ - ） （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

23）理解基本不等式abab的几何意义

2探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab几何解释吗？

2易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为

ab的2ababab，其中当且仅当点C与圆心重合，，显然，它大于或等于CD，即22即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式ab评述：1.如果把ab几何意义是“半径不小于半弦”

2ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定2ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还2理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例1 已知x、y都是正数，求证：

(1)yx≥2；

xy223333(2)（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy. 分析：在运用定理：abab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每2yx2233＞0，＞0，x＞0，y＞0，x＞0，y＞0 xy条性质成立的条件)，进行变形. 解：∵x，y都是正数 ∴(1)xyxyxy2＝2即≥2. yxyxyx3

22332233(2)x＋y≥2xy＞0 x＋y≥2xy＞0 x＋y≥2xy＞0 ∴（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥2xy·2即（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy. 2233332233x2y2·2x3y3＝８x3y3

3.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：abab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. 2本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（22ab），2ab≥ab）.它们成立的条件不同，前者只2小结

要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的ab2a2b2等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）. 22布置

作业

板

书

设

计

教

学

反

思

课本第113页习题[A]组的第1题

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