复习参考题教案教学设计

不等式的复习参考题

一．不等式的基本知识

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba

(2)传递性：ab,bcac

(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd(同向可加) (4)乘法法则：ab,c0acbc；

ab,c0acbc

ab0,cd0acbd(同向同正可乘) (5)倒数法则：ab,ab011ab

(6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1)

(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式

（二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

222设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，2则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

1 / 9

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

axbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

x1x2b

2a

xxx或xx

12bxx

2a



R ax2bxc0(a0)的解集

xx1xx2



2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)

0g(x)g(x)03、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA

若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫

2 / 9

线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

（四）基本不等式abab

2abab(当且仅当ab时取""号).

221．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.

2．如果a,b是正数，那么ab变形：

有:a+b≥2ab；ab≤,当且仅当a=b时取等号.

23．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;

S2如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值. 4注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

22ababab2(根据目标不等式左右的运算4.常用不等式有：（1）2211ab结构选用) ；（2）a、b、cR，abcabbcca（当且仅当a

3 / 9

222bc时，取等号）；

（3）若ab0,m0，则

二．不等式主要题型讲解

bbm（糖水的浓度问题）。

aam（一）

不等式与不等关系

题型一：不等式的性质

1.

对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则acbc；

②若acbc,则ab；

22

③若ab0,则aabb；

④若ab0,则222211；

abba；

⑥若ab0,则ab；

abab11

⑦若cab0,则；

⑧若ab,，则a0,b0。

cacbab

⑤若ab0,则其中正确的命题是______ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

2.

设a2，pa

21，q2a4a2，试比较p,q的大小

a23.

比较1+logx3与2logx2(x0且x1)的大小

4.

若ab1,P是 . lgalgb,Q1ab(lgalgb),Rlg()，则P,Q,R的大小关系22

4 / 9

（二）

解不等式

题型三：解不等式

5.

解不等式

6.

解不等式(x1)(x2)20。

7.

解不等式

8.

不等式ax2bx120的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=_____, b=_______

5x1

x22x3

9.

关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式集为

10.

解关于x的不等式ax2(a1)x10

题型四：恒成立问题

axb0的解x211.

关于x的不等式a x2+ a x+1＞0

恒成立，则a的取值范围是_____________

5 / 9

12.

若不等式x22mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.

13.

已知x0,y0且191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

xy

（三）基本不等式题型五：求最值

abab

214.

（直接用）求下列函数的值域

11（1）y＝3x 2＋ 2

（2）y＝x＋

2xx

15.

（配凑项与系数）

（1）已知x

（2）当

时，求yx(82x)的最大值。

5，求函数y4x21的最大值。

44x5

6 / 9

x27x10(x1)的值域。

16.

（耐克函数型）求yx1

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x单调性。

17.

（用耐克函数单调性）求函数y

18.

（条件不等式）

ab（1）

若实数满足ab2，则33的最小值是 . a的xx25x42的值域。

（2）

已知x0,y0，且

y 2（3）

已知x，y为正实数，且x＋

＝1，求x1＋y

2

的最大值. 2 2191，求xy的最小值。

xy

1（4）

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

的最小值. ab

7 / 9

题型六：利用基本不等式证明不等式

19.

已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

20.

正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

21.

已知a、b、cR，且abc1。求证：1a11b11c18

题型七：均值定理实际应用问题：

22.

某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

（四）线性规划

题型八：目标函数求最值

8 / 9

2xy3023.

满足不等式组7xy80，求目标函数k3xy的最大值

x,y0

已知实系数一元二次方程x(1a)xab10的两个实根为x1、x2,并且224.

0x12,x22．则

b的取值范围是 a1

25.

已知x,y满足约束条件：

x03x4y4y022xy2x的最小值是

,则x2y3026.

已知变量x,y满足约束条件x3y30.若目标函数zaxy（其中a>0）仅y10在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为

。

y1，27.

已知实数x，y满足y2x1，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数mxym．（

）

题型九：实际问题

28.

某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

9 / 9