3.1.2 复数的几何意义教案和课堂实录

3.1.2 复数的几何意义

教学目标

了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

教学重、难点

重点：复数的几何意义

难点：复数的几何意义及复数的模

教学过程

一、

复习引入：

复习复数的定义及分类

思考1：在几何上，我们用什么来表示实数 思考2：一个复数由哪两部分唯一确定？

通过类比实数的表示，可以用什么来表示复数？一个复数由什么确定？

二、知识新授：

1.复数的几何意义（1）

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系

这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，从而建立了一一对应的关系。

由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

例题讲解

例1.说出下列复数所对应的点的坐标，并说出点的位置

z=2+5i z=2i z=2 z=i+3

思考3：实轴、虚轴、各象限内的点分别表示什么样的复数？

1.实轴上的点都表示实数

2.对于虚轴上的点要除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

3.非纯虚数对应的点在四个象限

例2、下列命题中的假命题是（ D ）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数

22例3、例3.实数m取什么值时，复平面内表示复数

zm8m15m5m14i的点（1）位于第四象限

（2）位于第一、三象限 （3）位于直线y=x 解析：



m

2



8

m



15



0

(1)2m2,3

m5m1405,722

15

(2)

m



8

m

m



5

m



14



0

m3m5m2m70



m







,







7,



2





3,5

(3)m8m15m5m1422m2932.复数的几何意义（2）

任何一个复数z=a+bi与复平面内的一点Z（a，b）对应，复平面内任意一点Z（a，b）又可以与原点为起点，点Z（a，b）为终点的向量

对应，这些 都是一一对应。

3.复数的模：向量

=

的模叫做复数z=a+bi的模，记作

OZa2b2注：（1） （2）两个复数的模可以比较大小

z01z22iz134i及 例4 求复数 的模，并比较它们模的大小。

2解析：

z132425

2213z2

222

z1z2

思考4：（1）满足

的

值有几个？

（2）满足

的z值有几个？这写复数对应的点在复平面上构成

怎样的图形？

（3）满足

（

）的复数z对应的点在复平面上构成怎样的图形？

得出复数z的几何意义：复数z所对应点Z（a，b）到坐标原

点的距离

跟踪练习

1、“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的( C ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

2、已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范围。m3m2或1m2

3. 实数x分别取什么值时，复数zx2x6(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限？(2)第四象限？(3)直线xy30上？ 【解析】：（1）当实数x满足2xx60,2x2x150.即3x2时，点Z在第三象限。

（2）当实数x满足2xx60,2x2x150.即2x5时，点Z在第四象限。 （3）当实数x 满足(x2x6)(x22x15)30，即x2时，点Z在直线xy30上。

四、课堂小结：

知识点：

复数的几何意义，复数模的定义及几何意义

五、课后作业：