1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课堂实录【3】

变量间的相关关系与独立性检验

【教学目标】

1．会利用散点图认识变量的相关关系．

2．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

3. 能够根据相关系数r判断相关性强弱

3．掌握独立检验(只要求2×2列联表)的基本思想，方法简单应用. 一、变量间的相关关系

1.线性相关关系与回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在

散点附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为 正相关,点分布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为 负相关

2.回归方程

方程错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。x+错误！未找到引用源。是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程

3.相关系数：用它来衡量两个变量之间的线性相关程度．相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．

小题自测

1.观察下列各图形.

其中两个变量x、y具有相关关系的图是( ) (A)

(1)(2) (B)(1)(4) (C)(3)(4) (D)(2)(3) 2.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ①y与x负相关且错误！未找到引用源。=2.347x-6.423;②y与x负相关且错误！未找到引用源。=-3.476x+5.648; ③y与x正相关且错误！未找到引用源。=5.437x+8.493;④y与x正相关且错误！未找到引用源。=-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) (A)①②

(B)②③

(C)③④ (D)①④

3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元)

4

2

3

5 销售额y(万元)

49

26

39

54 ^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(

) A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

4.

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程。

(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？（3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

5.(2016·全国Ⅲ卷)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图. 注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014. ①由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

②建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：

回归方程^y＝^a＋^bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

二．独立性检验

1.分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的 ,像这样的变量称为分类变量. 2.列联表

列出两个分类变量的 ,称为列联表.假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

x1

x2

总计

y1

y2

总计

构造一个随机变量K2=错误！未找到引用源。,其中n=a+b+c+d为样本容量.

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. 3.独立性检验的步骤

①计算随机变量K2的观测值k,查表确定临界值k0: ②如果k≥k0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0);否则,就认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关系”. 小题自测

6.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到列联表:

敏感

不敏感

总计

雄性

50 10 60 雌性

25 15 40 总计

75 25 100 由K2=错误！未找到引用源。≈5.56，则下列说法正确的是( ) (A)在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“对激素敏感与性别有关”

(B)在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“对激素敏感与性别无关”

(C)有95%以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”

(D)有95%以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”

7. 2013年3月14日,CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象.为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关,某大学实验

使用淡化海砂

使用未经淡化海砂

总计

混凝土耐久性达标

25 15 40 混凝土耐久性不达标

5 15 20 总计

30 30 60 室随机抽取了60个样本,得到了相关数据如下表: 根据表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关? 参考数据: P(K2≥k) 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

练习：1.某市春节期间7家超市的广告费支出xi(万元)和销售额yi(万元)数据如下：

超市

广告费支出xi

销售额yi

A 1

19

B 2

32

C 4

40

D 6

44

E 11

52

F 13

53

G

19 54 ①若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；

②用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程^y＝12ln x＋22，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额.

2.(2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；

(2)填写列联表，根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

[来源学科网Z,X,X,K]来源:Z+xx+k.Com

箱产量<50 kg

箱产量≥50 kg

旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.