小结教学实录及点评

a＋b§3.4 基本不等式ab≤

第一课时

学案

2

重点难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式ab≤明过程.

难点：用基本不等式求最大值和最小值.

a＋b的证2

学习过程

[情境导学] 在PPT上展示在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

探究点一

重要不等式

思考1

对于“情境导学”中的图形，如图所示，我们把“风车”造型抽象成平面图形，回答下列问题。

1.正方形ABCD的面积S=

.

2.四个直角三角形的面积和S

.

3. S与S有怎么样的不等关系？S

S，即

.（用a，b表示）

思考2

S与S有相等的情况吗？什么时候相等？

思考3

试证明不等式a2＋b2≥2ab.

1

结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．通常我们称a2＋b2≥2ab为重要不等式．

探究点二

基本不等式

思考1

如果a>0，b>0，用a，b分别代替a2＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？

思考2

如何证明不等式ab≤a＋b(a>0，b>0)? 2

①

②

③

a＋b证明：要证：≥ab(a>0，b>0)，

2只要证：a＋b≥________，

要证②，只要证a＋b－________≥0， 要证③，只要证(________－________)2≥0.

④

显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立．

a＋b结论：一般地，对于实数a>0、b>0，我们有ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立．不2等式ab≤a＋b是一个基本不等式.

2探究点三

基本不等式的几何解释

问题

如图,

AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. 1.

如何用a,b表示OD？

OD=

2.

如何用a,b表示CD？

CD=

3.

OD与CD的大小关系怎样?

OD_____CD

a＋b结论：基本不等式ab≤的几何意义是“半径不小于半弦”

2探究点四

基本不等式与最值

例1 （1）

若x,y为正数，xy4，则xy的最小值是多少，什么时候取得最小值？

（2）

若x,y为正数，xy4，则xy的最大值为是多少，什么时候取得最大值？

2 D

A

a

B

O

C

b

E

变式训练

x0，当x取什么值，x

结论：

1.运用基本不等式求最值

1的值最小？最小值是多少？

x(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当

时，积xy有最

值为

. (2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当

时，和x＋y有最

值为

. 2.利用基本不等式求最值应注意三点：

（1）各项均为正（2）寻求定值（3）考虑等号成立的条件

探究点五

基本不等式在实际问题中的应用

例2

(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

例3

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少元？

结论：求解应用题的方法与步骤：

1.审题

2.列式

3.求解

4.作答

3

练习：

1．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．

2. 设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是 _______. 3.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，v2为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要20________小时．

4.（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

5.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小，最小值是多少？

6.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

37.做一个体积为32m，高为2m的长方形纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？

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