正弦、余弦、正切函数的简单应用教学设计一等奖

实际问题

教学目标

知识与技能

巩固用直角三角形有关知识解决实际问题的方法，学会解决现实生活中的实际问题．

过程与方法

通过实际问题的解决，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．学会用数学的思维方式解决问题．

情感、态度与价值观

培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．感受现实生活中数学无处不在，热爱数学、学好数学．

重点难点

重点

用解直角三角形的方式、方法解决有关实际问题．

难点

学会准确分析问题，并将实际问题转化成数学模型，从而加以解决．

教学过程

一、创设情境，导入新课

1．直角三角形有关基础知识．

2．用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤是怎样的？

(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)．

(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形．

(3)得到数学问题的答案．

(4)得到实际问题的答案．

教师提出问题，学生回顾回答．

二、合作交流，探究新知

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°＜α＜75°，

(如图)．现有一个长6 m的梯子，问：

(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m) ? (2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子(可用计算器)?

三、运用新知，深化理解

例1

根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A，B两点，小张为了测量A，B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.

分析：设AD＝x m，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．

AB解：设AD＝x m，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，∴AB＝AC·tan∠ACABBCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋AD41041082)＝4x，解得x＝.∴AB＝4x＝4×≈546.7(m)．

33答：AB的长约为546.7 m. 方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．

例2

如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30 cm，灯罩BC长为20 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.732)?

分析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．

解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∴四边形BFDG是矩形，∴BG＝1FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10 cm.在Rt△ABG中，∵2∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×3＝15 3cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15 32＋2＝12＋15 3≈38.0(cm)．

答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0 cm. 方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P76练习第2题．

2．请同学们完成《练习册》相关作业．

五、反思小结，梳理新知

解直角三角形的简单应用主要解决一些实际问题，如求河宽和物体的高度等．

六、布置作业

1．请同学们完成《练习册》相关作业．

2．教材P78习题28.2第2题．