数学活动优质课教案

几何变换—当45°角遇到正方形

一.内容和内容解析

1.内容

当45°角遇到正方形. 2.内容解析

中考中经常出现一类几何题型，这类题型有一个共同特点：即有一个角内包含等于这个角一半的另一个角.这类题目表面色看起条件分散，较难入手，但可通过旋转，构造全等三角形，将所要说明的问题中的量集中到一个图形内探究，则问题可迎刃而解.这种解决这类题的方法提炼成模型即“半角”旋转.本节课主要讲45°角在正方形中的特殊情况，就解题思路来说与“半角”的题型是一样的.相对来说又比“半角”模型简单直观，更利于八年级学生学习.

基于以上分析，可确定本节课的教学重点是：利用旋转来解决45°角在正方形中的几何题型. 二.目标和目标解析

1.目标

（1）能够找出模型的基本条件. （2）能够通过旋转构造全等，从而解决问题. 2.目标解析

达成目标（1）的标志：明确两个基本条件：①90°里有一个45°角；②有一组邻边相等. 达成目标（2）的标志：学生通过不同习题的分析，利用旋转的方法解决这类题型. 三.教学问题诊断分析

八年级学生已经学习了全等三角形，平行四边形，具备了对简单平面几何问题的解决能力，但是学生还没有系统学习相似三角形，旋转等知识，对如何旋转，旋转的性质不熟悉.因此本节课应先用构造全等的方法来实现旋转，在让学生感知旋转的优点，从而直接用旋转的方法解决问题.

鉴于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何做辅助线实现旋转的目的. 四.教学过程

1.创设情境，提出问题

例1 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、DC边上的点，∠EAF=45°，连结EF，求证：DF+BE=EF．

师生活动：学生认真独立思考，交流互动汇报成果. 设计意图：让学生初步接触当45°角在正方形中的题型，激发学生探究的欲望.

2.交流互动，探究新知

分析：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．可以通过构造全等的方法将DF,BE集中到一条线上(即“补短”法).延长FD到G，使GD=BE，则可证ADGABE,然后我们只需证GF=FE即可.通过GAFEA即可解决问题F.从图形的变化来看，△ADG可看成△ABE绕A点旋转而来. 问题1：旋转之后有哪些角相等？哪些边相等？

问题2：旋转后点G,D,F在一条直线上吗？为什么？ 问题3：

旋转后是否还可以证GAFEAF呢？

师生活动：老师引导学生通过几个问题掌握用旋转的方法解决问题. 设计意图：老师展示用旋转的方法解决这类问题的过程.学生学习，感受用旋转解决问题的优越性，激发学生用旋转来解决问题的兴趣. 3.

拓展探究 深化新知

变式1

在例1中若∠EAF绕着点A顺时针旋转，当点F,E在CD,BC延长线时，例1中的结论还成立吗？

问题5：例1与变式2在条件上有什么相似之处？

问题6：可以用上面的方法解决这个问题吗？试一试. 师生活动：学生独立运用例1的方法类比解决这个问题.老师与同学一起交流. 设计意图：在例1基础上设计变式1，使学生能在选择方法解决问题中进一步认识数学知识的基本应用结构，促进从知识到技能的转化和数学思想方法的初步体会. 问题7：题目做完后，我们要回过头来想一想例1变式1的条件有什么共同特点呢？解题方法是怎样的呢？

设计意图：通过回头想一想，让学生总结归纳得出解决问题的一般方法. 4.巩固新知，学以致用 变式2 在例1中若连接BD，与AF,AE分别接于G,H两点，此时GB,GH,DH三条线段之间AB又有怎样的数量关系呢？

GEHDFC师生活动：学生独立思考后，小组合作交流，得出解题思路. 设计意图：通过一组变式2的训练，拓展学生数学思维，培养学生学以致用的精神. 5.课堂小结

教师引导学生参照下面问题回顾总结：

（1）本节课我们学习了什么几何模型？

（2）在正方形遇到45°角时解题思路是怎样的？

A6、达标检测，体验成功

1.如图

正方形ABCD的边长为1，线段AB,AD上各有点P、Q，且∠PCQ=45°，则△APQ的周长为 . Q

PB

DC2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是边AB上的两点，AD=3，BE=4，∠DCE=45°，则△ABC的面积是多少？

A

D

E

BC

设计意图：通过一组变式训练，检测学生知识的掌握情况，培养学生灵活掌握模型的解题方法提升数学品质. 7. 自主探究，拓展延伸

思考与展望：

变式3 （1）如图

在正方形ABCD中，∠GAH=45°，AG,AH分别交BC,DC于点G,H，分别作∠ABC，∠ADC外角的平分线BM，DN交AG，AH的延长线于点M，N，探究BM，MN，DN之间的数量关系并说明理由；

ADPHBGQMCN

（3）如图，若将∠GAH绕点A顺时针旋转分别交CB,DC的延长线于点G,H.∠ABC，∠ADC的外角平分线分别交AG于点M，交直线AF于点N，连接MN，探究BM，MN，DN之间的数量关系并说明理由；

设计意图：通过兴趣小组的形式探究，让学有余力的的学生通过选择恰当的方法形成解决问题的思路，培养学生分析问题和解决问题的能力.