2.1.2 演绎推理教学实录

2.1.2

演绎推理

石家庄市鹿泉区第二中学授课教师:董金玲

新授课

1课时

三维教学目标

1、知识目标：能正确地运用演绎推理 ，进行简单的推理。

2、能力目标：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；

3、德育目标：引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验。

教学重点与难点：

教学重点：理解演绎推理的含义与特征。并能用三段论证明问题。

教学难点：掌握三段论的证明应用；了解演绎推理与合情推理的区别与联系。

教学过程：

（一）导入新课：

1、复习：合情推理

归纳推理 从特殊到一般

类比推理 从特殊到特殊

从具体问题出发——观察、分析、比较、联想——归纳、类比——提出猜想

2、

问题情境：（幻灯片）

让学生观察下列推理句子，你能说出它们的特征吗？

1）所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电；

2）太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；

3）一切奇数都不能被2整除，2017是奇数，所以2017不能被2整除；

4）三角函数都是周期函数，tanx是三角函数，因此

tanx是周期函数；

5）两条直线平行，同位角相等，如果

∠A与

∠B是同位角，那么∠A= ∠B 观察与思考并提出问题

：上面的推理有什么特点？

分析：如：

所有的金属都能导电 —— 一般原理

铀是金属 —— 特殊情况

所以铀能够导电 —— 对特殊情况的判断

（二）讲授新课：（幻灯片）

1、演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

2、演绎推理的特点：是由一般到特殊的推理；

3、演绎推理的一般模式：“三段论”，包括

（1）大前提---已知的一般原理；

（2）小前提---所研究的特殊情况；

（3）结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

4、三段论的基本格式

M—P（M是P） （大前提）

S—M（S是M） （小前提）

S—P（S是P） （结 论）

5、三段论推理的依据,用集合的观点的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P. 6、练习应用：

【例1】用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直. (2)若两角是对顶角，则此两角相等

.(3)0.332是有理数.(4)y=sinx(x∈R)是周期函数. 【审题指导】要注意三段论的结构与格式，其中第(3)(4)小题省略了大前提. 【规范解答】(1)每个菱形的对角线相互垂直

(大前提) 正方形是菱形

(小前提) 所以，正方形的对角线相互垂直

(结论) (2)对顶角相等

(大前提) ∠1和∠2是对顶角

(小前提) ∠1=∠2

(结论) (3)所有的循环小数是有理数

(大前提) 0.332是循环小数

所以，0.332是有理数

...

(小前提)

(结论) (4)三角函数是周期函数

(大前提) y=sinx(x∈R)是三角函数

(小前提) 所以，y=sinx(x∈R)是周期函数.

(结论)

（三）三段论推理应用：（幻灯片）

1、用三段论写推理过程，关键是明确题目的大小前提。

【设计意图：强调三段论的应用。】

2、例题应用

例2、在锐角三角形ABC中，AD ⊥BC,BE⊥AC, D、E是垂足，

求证：AB 的中点

M 到点

D 、E的距离相等。

证明：因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，

(大前提）

在△ABD中，AD⊥BC，即

∠ADB = 90°，

(小前提）

所以△ABD是直角三角形。(结论）

同理，△ABE也是直角三角形。

因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

(大前提）

而M是Rt△ABD斜边AB的中点，

DM是斜边上的中线，

(小前提）

所以DM =½AB （

结论

）

，同理

EM = ½AB。所以DM = EM. 例3、证明函数f（x)=-x2+2x在（- ∞，1）内是增函数。

分析:大前提是在某个区间（a，b）内，如果

f ’（x)

> 0, 那么函数y=f（x)在这个区间内单调递增。

小前提是f（x)=-x2+2x在（- ∞

，1）内满足f ’（x)

> 0

是本题关键

证明：

f ’（x)= -2x + 2 = 2 (1-x)

因为当x ∈（- ∞

，1）时，有

1- x > 0 , 所以f ’（x)

> 0

于是根据三段论，可知函数f（x)=-x2+2x在（-∞

，1）内是增函数。

你还有其它证明方法吗？（引入函数单调性的定义进行证明）留为课下作业。

4、进一步思考三段论的应用：

思考题：

因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形（大前提）

而菱形是所有边长都相等的凸多边形（小前提）

所以菱形是正多边形（结论）

（1）上面的推理形式正确吗？

（2）推理的结论正确吗？为什么？

推理形式正确。推理的结论错误。因为大前提错误。所以在演绎推理中，只有前提和推理形式是正确的，结论必定是正确。

注意：

a.证明中常见的错误：

(1)条件分析错误(小前提错). (2)定理引入和应用错误(大前提错). (3)推理过程错误等. b.在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的。

5、练习巩固：

a.下面说法正确的有(

) (1)演绎推理是由一般到特殊的推理；

(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；

(3)演绎推理的一般模式是“三段论”；

(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关. (A)1个 (B)2个

(C)3个

(D)4个

【解析】选C.(1)、(3)、(4)显然正确，而演绎推理得到的结论只有当大前提、小前提和推理形式都正确的前提下才是正确的，所以(2)错误. b.“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，以上推理的大前提为(

) (A)正方形都是对角线相等的四边形

(B)矩形都是对角线相等的四边形

(C)等腰梯形都是对角线相等的四边形

(D)矩形都是对边平行且相等的四边形

【解析】选B.本题主要考查三段论的原理：若M是P，S是M，则S是P，根据三段论的原理知大前提应为“矩形都是对角线相等的四边形”故选B. （四）谈谈你对合情推理与演绎推理的认识：

1、从形式上看：归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理。

2、从结论上看：合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；而演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。

3、从联系上看：演绎推理是证明结论的重要思维过程，但结论与思路的发现主要靠合情推理。

（五）小结：

1.演绎推理的一般模式——三段论及其应用

2.合情推理与演绎推理的区别。

（六）课堂检测：

用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°

（七）作业：课本33页练习的1

、2、3 提高作业：已知：a,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc

（八）板书设计：

2.1.2演绎推理

一、引入演绎推理

含义与特点

三、演绎推理应用在证明题

例2、

二、三段论应用

例1、

例3、

教学反思

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对演绎推理的研究兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学及一系列的课堂探究活动，加深学生对演绎推理的认识；让学生体会了演绎推理的三段论的应用。在应用过程中提高了学生对证明问题的认识程度和解决能力；同时也认识了合情推理与演绎推理的关系，鼓励学生辩证的认识客观世界，学会大胆的猜想与证明。在教学过程中还有些不足，比如：有些语言的安排还不够严谨，问题设计的巧妙性还有待于提高。