复习参考题教案教学设计导入整理

中学生数学解题能力训练

第3讲

总结推广-分析法与综合法

（第3课时）

原阳县第四高级中学----刘伟

2．分析法和综合法

所谓分析法就是从结论出发，探寻如果要使结论成立，需要一些什么条件，这些条件具不具备，如果具备，那结论当然成立了，所谓综合法就是从条件出发，设法推出结论。综合法的要点是“发展已知”，分析法的要点是“转化结论”。在实际使用时，往往是二者结合使用。

例.（高一）设a、b、c是一直角三角形的三边，其中c为斜边，且a≠1,c≠1b,求证：logbcalogcba2logbcalogcba。

分析：本题由已知“a、b、c是一直角三角形的三边，c为斜边”可得 a+b=c，即

222c- b= a，但往下再想要向待证的目标靠拢不易想到步骤，此时可试用分析法。

证明：要证

logbcalogcba2logbcalogcba

，

222lgalga2lg2a只要证

⑴

，

lg(bc)lg(cb)lg(bc)lg(cb)∵ a≠1 , ∴

lga0

，

⑴两边同时除以lga得

lg(bc)lg(cb)2lga

，即

lg(bc)(cb)lga2

即

(bc)(cb)a2

，即 c- b= a，

而这与已知“a、b、c是一直角三角形的三边，c为斜边”相符合，

上述各步可逆，故原结论成立。

点评：使用分析法时一定要注意，从结论推至条件时，每步必须可逆，而且题目的最后必须写上“上述各步可逆”这句话。如果有时间，最好使用综合法来叙述（从条件到结论的表述方式）。

例.（高一）已知

222absin，cos，aa(cb)cb(cb)cb，且cc，求证：lg2alg(cb)lg(cb)

。

2a0,b0,cb,02分析：本题从结论入手不容易，因为lgalg(cb)lg(cb)不易变形。此时可试用综合法。

absin，cos，0，

cc2a2b222222∴

()()sincos1

，即

abc

，

cc∵

a0,b0,cb

， 证明：∵

对

aa(cb)cb

两边取对数得

alga(cb)lg(cb) ⑴

对

aa(cb)cb

两边取对数得

alga(cb)lg(cb) ⑵

⑴×⑵得

alga(cb)lg(cb)lg(cb)

，

222又

a0，acb，cb

，

2222

∴

lg2alg(cb)lg(cb)

。

点评：要在恰当的地方，也就是确实需要的地方摆出约束条件，不能把约束条件不问青红皂白乱摆一气。

例.

（高一）已知

tg(AB)sin2B，求证：2tg2BtgAtgB。

分析：要证

2tg2BtgAtgB

，只要证

22tgBtgAtgB

，

1tg2B即只要证

4tgB(tgAtgB)(1tg2B)

⑴

（此步可逆，因为从题中可见tgB1

，否则

tg2B

无意义）

观察已知条件和结论，似乎是把sin2B

用tgB

表示为好，这可以利用万能代换： sin2B2tgB，

1tg2B2tgBtgAtgB2tgB

，即

，

1tgAtgB1tg2B1tg2B∴ tg(AB)sin2B即 tgAtgAtg2BtgBtg2B2tgB2tgAtg2B ⑵

现在就是要设法从⑵式推出⑴式，注意到⑴式中有4tgB，故在⑵式中配出4tgB，

把⑵式变为 4tgBtgAtgAtgBtgBtgB ⑶

只要证⑶式的右边和⑴式的右边相等，把⑶式的右边分组后再提公因式，即可得⑴式的右边。

23a22b22例.（高二）求证

()()ab，其中

a0，b0。

ba11a22b22证法一（分析法）：要证

()()ab ⑴

baabab ⑵

只要证

ba只要证

aabbabba ,只要证

(ab)(ab)0 , 只要证

(ab)(ab)20 , 此式显然成立，故原不等式成立。

证法二（综合法）：∵

(ab)20

，

又

a0，b0，ab0

，∴

(ab)(ab)20

，

即

aaabbabb0

，即

aabbabba

，

两边除以ab

（ab0）得

11abbaab

，

a22b22即

()()ab

。

ba例（1979年高考理科题）.

（高二）若(ca)4(ab)(bc)0，则a、b、c为等差数列。

下面的证明过程错在哪里？

错误证明：要证

a、b、c为等差数列，

211

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只要证

2bac (F) 只要证（两边平方得出）

4b2(ac)2 (E) 只要证（两边同减4ac得出）

4b24ac(ac)2 (D) 只要证

8b24b24ac(ac)2, 只要证

2b4b4b24ac(ac)2 （C）

只要证（把(F)式代入（C）式得出）

4ab4bc4b24ac(ac)2 (B) 只要证（把(B)式左边因式分解并移项得出）

(ca)24(ab)(bc)0 (A) 由已知可知(A)式成立，且上述每步可逆，故a、b、c为等差数列。

错误原因分析：错误有二，首先，推理“(C)(B)”不可逆，因为从（C）推出(B)时利用了(F)，但在逆向推理时，便没有了(F)，也就时说，从(B)推不出（C）；其次，推理“(F)(E)”的可逆性也靠不住，因为(E)只是(F)的必要条件，而非充分条件。

正确的证明过程如下：

要证

a、b、c为等差数列，

只要证

2bac

，

只要证

[2b(ac)]20

，

只要证

4b24b(ac)(ac)20

，

∵

其中

(ac)2(ac)24ac

，

故只要证

4b24b(ac)4ac(ac)20

，

又∵其中

4b24b(ac)4ac4(ab)(bc)

，

故只要证

(ac)24(ab)(bc)0

，

这是已知成立的，且上述每步可逆，∴

a、b、c为等差数列。

习题：

1．（高一）已知

tgx4tgy，且

0yx2，求xy的最大值。

2．（高二）设a、b、c为三角形的三边，Sabc，试证：28(Sa)(Sb)(Sc)abc。

3（1983年高考理科题）．(高三)证明：对于任意实数t，复数

z模rz

适合r

4costsint

i

的2

。

参考答案：

1．（高一）已知

tgx4tgy，且

0yx解：∵

0yx2，求xy的最大值。

22∴

ytgx

在（0，）内是增函数，故要求xy的最大值，只要求tg(xy)的最2大值，

∵

tgx4tgy

，且

tgy0

，

，∴

0xy

，

tgxtgy3tgy333

，

11tgxtgy14tg2y44tgy214tgytgytgy3∴

xy的最大值为

arctg。

4abc2．（高二）设a、b、c为三角形的三边，S，试证：28(Sa)(Sb)(Sc)abc。

证明：原不等式化为

(2S2a)(2S2b)(2S2c)abc

，

即只要证

(abc2a)(abc2b)(abc2c)abc

，

即只要证

(bca)(acb)(abc)abc

，

又由已知a、b、c为三角形的三边，可知a、b、c必为正实数，

∴

a2(bc)2a2

，b2(ca)2b2

，c2(ab)2c2

，

222222把上面三式相乘得

(abc)(bca)(cab)abc

，

又∵

在三角形中，abc0,bca0,cab0，

∴

(bca)(acb)(abc)abc

，

∴

tg(xy)综上所述，原不等式成立。

3（1983年高考理科题）．(高三)证明：对于任意实数t，复数

z模rz

适合r4costsint

i

的2

。

costsint

i

的模rz为：

证法一：复数

zr(cost)2(sint)2要证对任意实数t，有r4costsint，

2，只要证costsint2

成立，

2，

2只要证 对任意实数t，有

costsint两边平方得 cost2sint2costsint2，

用三角公式得 1+sin2t2，

两边减去1得 sin2t1，

因为对任意实数t，sin2t1

成立，并且上述每步可逆，所以原结论成立。

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证法二：复数

zcostsint

i

的模rz为：

r(cost)2(sint)2要证对任意实数t，有r4costsint，

2，只要证costsint2

成立。

2

，

只要证对任意实数t，有

costsint当

0t当

2

时，costsintcostsint2sin(4t)212

，

7t)2

，

2435t)2

，

当

t

时，costsintcostsint2sin(2433t2

时，costsintcostsint2sin(t)2

，

当

24对任意实数t，可设

t2kt

，其中k为整数，0t02

，

t

时，costsintcostsint2sin(∴

costsintcos(2kt0)sin(2kt0)cost0sint0

2

。