2.基本不等式教案推荐

《基本不等式》教学设计一、教材分析

1、教学内容

本节课内容是人教A版教材《不等式》,其教学内容为基本不等式的证明及简单应用。

2、地位与作用

“基本不等式”是重点内容，它是在学完“不等式性质”、“不等式解法”、“线性规划”的基础上进一步对不等式的研究。在不等式的证明和求最值得过程中有着广泛的应用，而求函数最值又是高考的热点。同时本节又渗透了数形结合、转化和化归的数学思想，从而培养了学生良好的数学思维品质。

3、教学目标

根据《大纲》要求和学生的实际情况制定如下教学目标：

知识目标：探索不等式的证明过程，会用基本不等式解决最值问题。

能力目标：培养学生观察、实验、归纳、猜想、判断等数学思维能力。

情感目标：培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价 值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

4、重点难点

重点：利用数形结合的思想理解不等式，从不同角度探索不等式。

难点：基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。

重、难点解决的方法策略：

本课在设计上采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略，通过学生自主思考和互动研讨，经历观察、分析、猜想、论证的过程，自己推导出2个不等式同时，借助多媒体的直观演示，强化学生对重要不等式、基本不等式的理解认识，从而突出重点。为了强化学生对基本不等式的理解认识，在应用上，注意通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突破教学难点。

二、学情分析

学生已经学习了不等式性质、不等式解法、线性规划等内容，对不等式有一定的了解，但学习时间不长，逻辑思维能力不够严密，运算能力较弱，所以这节课多作铺垫，扫清他们学习的障碍，保护他们学习的积极性，增强学习的主动性。

三、教学方法与教学手段

教法上：“

问题诱导--启发讨论--探索结果”的一种探究式教学法。

学法上：采用以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实。

教学手段：采用多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．运用生活中的例子，让学生享受解决实际问题的乐趣。课堂上采取对比分析，让学生边议边评，组织学生学、思、练。通过师生和谐对话，使感情共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大，让学生爱学、乐学、会学、学会。

四

、教学过程

1

结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：

创设情景

探究基本不等式

探究重要不等式 图形欣赏 猜想证明

提出问题

（14分钟）

（6分钟）

（2分钟）

前后呼应 推论应用

解决问题

方法提炼

基本不等式的应

上升认识

归纳总结

用与议练活动

（2分钟）

（3分钟）

（13分钟）

教学

教

师

活

动

环节

如图是在北京召开的第24界国际数学家

大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个

创设风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图

情案中找出一些相等关系或不等关系吗？

境

引

入引入新课，板书课题：基本不等式（一）. 新

课

学

生

活

动

现实模型：

设 计

意 图

运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠,

生活实例

久，感受数学与生活的

联系。

2

合作

交流

发

现新

知

,

师生

互动

探

索新

知,

问题1：设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为_________;面积为_________,4个直角三角形的面积和是___________. 问题2：根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式____________________ 问题3：4个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？

问题4：你能给出它的证明吗？

归纳小结：（重要不等式），对于任意的实数a,b,都有____________;当且仅当_________________。

问题5：既然对于任意的实数a,b,都有a2＋b2

观察图形，学生自己完成问题。

通过观察，得出结论，小组合作，自己完成证明；小组相互交流证明过程，解决问题。

三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解。

让学生独立完成证明，强调“=”成立的条件。

通过整体代换变形得到基本不等式，是学生学习难点，但是要引导≥2ab,如果a>0，b>0，用a，b分别代替a2

＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？

学生小组合作自行a＋b学生感悟数问题6：如何证明不等式ab≤(a>0，2验证结论，过程中引学整体代换b>0)? 导学生感悟数学整的思想方

体代换的思想方法，

法，突出本a＋b进而体会逻辑证明节重点

问题7

还有一种证明ab≤(a>0，b>0)2的必要性.

的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的

空填正确？

3

拓展

升华

巩

固新

知

,

要证：a＋b2≥ab(a>0，b>0)，①

证明过程印证了不让学生独立等式的正确性，并能完成，同时加深学生对基本不培养了学生等式的理解

的自学能

力，符合课改的精神。加深了学生

只要证：a＋b≥________，②

要证②，只要证a＋b－________≥0，③

要证③，只要证(________－________)2≥0.④

显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立．

归纳小结：

若a>0,且b>0,那么_____________________,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）。

问题8：如下图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.你能利用这个图形得出基本不等式ab≤a＋b的几何解释吗？

2学生单独解答，并完对基本不

成结论。

等式的理解。

几何直观解释让学生体会数形结合的数学思

“半径不小于半弦”

定理解读：（1）基本不等式的几何意义：

（2）平均数解释：

（3）定理成立的条件是________；结论是_____________。

例1 证明（1）

a12a(a0) 12(x0) （2）

xx

4 让学生回答，找出问想，突破本题的答案。

节课的难点。

（1）通过例1，学生能够加深对基本不等式的理解，a和b不仅是一个字母，而是个符学生自己完成证明，一并找学生进行板演. 号 ，它们

可以是a、b，也可以是x、y，也可以是一个多

例2、（1）把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小。

（2）把18写成两个正数的和，当两个正数取什么值时，它们的积最大。

ba若a、b同号，则2.练习、（1）

ab

（2）P100，练习2、3、4

5

项式。

（2）此例不是课本例题，比课本例题简单，这样循序渐进，有利于学生理解基本不等式的内涵。

学生小组合作，写出例2利用基证明过程，各小组推本不等式求荐成员展示结果，指最值，包含出学生错误和需要正用、逆用，注意的地方，体会证体现了基本明的逻辑性以及严不等式的应谨性.

让学生板演。

用价值

。 强调利用基本不等式的关键点“正”、“定”、“等”。有利于培养学生团结合作精神。

有利于发挥学生的主观能动性，突出学生的主体地位。

教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．（让学生畅所欲言）

课后作业：

必做题：P100 习题3.4 A组2、3、4

1选做题：

若x0,求x的最大值。x

本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明：

（1）回顾本节所学数学知识。

归纳小结布置作业

,（2）体会数学整体

代换的数学思想。

体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，

进一步促进教学目标的实现。

板书设计：

一、重要不等式

二、基本不等式

三、数学思想与方法

(主板书)

§3.4基本不等式（一）

三、例题解答

例1：

例2：

练习

(副板书)

学

生

活

动

展

示

区

6 (辅助性板书)

五、教学评价

（1）教育学家波利亚说得好：“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现，理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”因此，我在教学时，尽量把学习的主动权交给学生，让学生在自主探索中学到知识、掌握方法、提高能力。

（2）在整个教学过程中，采用了探究式教学方法，同时注重数形结合、化归、分类讨论等数学思想的渗透，培养了学生的数学素养。

（3）在教学中借助多媒体生动、直观、形象的特点来突出教学重点和化解难点，同时调动了学生的积极性。

六、教学反思

根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课的教学有如下反思：

（1）根据新课程课堂教学活动的基本理念：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”，因此，我在本课教学设计中突出了学生的小组合作，自主探索，鼓励学生积极参与互动交流，所以绝大多数学生能很好地掌握基本不等式，并能用于解决相关问题，形成了较好的数学学习经验。

（2）本课在教学中始终贯穿学法指导，特别是通过对赵爽弦图的引入，得到基本不等式，最后又用几何图形直观解释基本不等式，不仅有利于学生形成数学“数”与“形”的链接，而且让学生感悟到数学文化。

（3）本节课充分利用了多媒体技术，使课堂教学情景化、直观化，生动活泼，趣意盎然。把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。

7