1.不等式的基本性质教案设计

1．1.1

不等式的基本性质(教学设计)

学校：唐山市滦南县第二高级中学

授课教师：杜海军

模块：选修4-5 课 题:

不等式的基本性质

教学目标：

1.理解用俩个实数差的符号比较大小。

2.掌握不等式的基本性质，能加以证明；会用性质判断不等关系和用比较法证明简单的不等式。

重点和难点：

1.教学重点

应用不等式性质判断命题真假；利用不等式性质求范围。

2.教学难点

灵活应用不等式性质。

教学过程：

（创设情景）

一·引入

年龄，身高，胖瘦等不同都表现出不等关系，不等具有普遍性，相等具有局部性。

二·复习回顾

1．实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系

设a，b∈R，则

①a＞b⇔a－b＞0；

②a＝b⇔a－b＝0；

③a＜b⇔a－b＜0. 2．不等式的基本性质

(1)对称性

(2)传递性

(3)加(减)

(4)乘(除)

(5)乘方

(6)开方

(7)加法法测

(8)乘法法测

三·典型例题 a＞b⇔b＜a

a＞b，b＞c⇒a＞c

a＞b⇒a＋c＞b＋c

a＞b，c＞0⇒ac＞bc；

a＞b，c＜0⇒ac＜bc

a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2) nna＞b＞0⇒a＞b(n∈N，n≥2) a>b，c>a⇒a＋c>b＋d

a>b>0，c>d>0⇒ac>bd

例1.

x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小．

[思路点拨]

本题考查利用作差法比较两个代数式的大小．解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x3－1与2x2－2x的大小．

精解详析

(x3－1)－(2x2－2x)

＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2

＝(x－1)(x2－x＋1) 133x－2＋≥＞0，

∵x2－x＋1＝244∴当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0. 即x3－1＞2x2－2x；

当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，

即x3－1＝2x2－2x. 当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，

即x3－1＜2x2－2x. 总结规律（找几个同学说）

(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的程序进行，即：作差→变形→定号→结论，其中变形是关键，定号是目的．

(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．

(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论．

针对练习

1.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．

例2. 下列命题中正确的是(

) (1)若a＞b，c＞b，则a＞c；

(2) 若a＞b，c＞d，则ac＞bd；

11(3)若a＞b＞0，则<；

abab(4)若＞，则ad＞bc；

cd(5)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. 思路点拨

本题考查对不等式的性质的理解，解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断．（找几个同学说为什么对错）

精解详析

(1)错误．因为当取a＝4，b＝2，c＝6时，有a＞b，c＞b成立，但a＞c不成立．

(2)错误．此命题当a、b、c、d均为正数时才正确．

111(3)正确．因为a＞b，且a、b同号，所以ab＞0，两边同乘以，得＜. abab

(4)错误．只有当cd＞0时，结论才成立．

(5)正确．因为c＞d，所以－d＞－c，又a＞b，

所以a－d＞b－c. 综上可知(3)(5)正确．

针对练习

2．已知a，b，c∈R，且ab＞0，则下面推理中正确的是(

) A．a＞b⇒am2＞bm2

11C．a3＞b3⇒＜

ab

abB．＞⇒a＞b

ccD．a2＞b2⇒a＞b

解析：对于A，若m＝0，则不成立；对于B，若c＜0，则不成立；对于C，a3－b3＞0⇒(a－b)(a2＋ab＋b2)＞0，

b3∵a2＋ab＋b2＝(a＋)2＋b2＞0恒成立，

2411∴a－b＞0.∴a＞b.又∵ab＞0，∴＜.∴C成立．

ab对于D，a2＞b2⇒(a－b)(a＋b)＞0，不能说a＞b. 答案：C α＋βα－βππ例3已知－≤α<β≤，求，的范围．

2222ππ解：∵－≤α<β≤，

22παπ∴－≤＜，

424πβπ－＜≤. 424πα＋βπ因而两式相加得－＜<. 222πβππβπ又∵－＜≤，∴－≤－＜. 424424πα－βπ∴－≤<. 222α－βπα－β又∵α＜β，∴＜0.∴－≤＜0. 222即α＋βππα－βπ∈－2，2，∈－2，0. 22（重点强调不等式要加和整体思想）

(1)若已知某两个代数式的取值范围，求另一个代数式的取值范围时，应利用待定系数法把所求代数式用已知的两代数式表示，进而利用同向不等式的可加性求其范围，否则可能

导致所求代数式范围变大．

(2)同一问题中应用同向不等式相加性质时，不能多次使用，否则可能导致范围扩大．

针对练习

3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．

解：法一：∵f(x)过原点，∴可设f(x)＝ax2＋bx. f1＝a＋b，∴

f－1＝a－b.

a＝2[f1＋f－1]，∴1b＝2[f1－f－1].1

∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．

∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4. ∴6≤f(－2)≤10. 课堂总结：

老师提问：这节课我们学了哪些知识方法？

学生回答：不等式性质，比较法，整体法求范围。

作业：课本

习题1.1