二 用数学归纳法证明不等式获奖说课稿

人教A版高中数学选修4-5 第四讲（二）用数学归纳法证明不等式举例（第一课时）

江门市第二中学 伍松启

【教学目标】

知识与技能：

1.进一步理解数学归纳法的原理与本质；

2.牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程；

3.培养学生观察、探究、分析、论证的能力. 过程与方法：

1.通过对数学归纳法证明不等式的研究，进一步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理的学科核心素养；

2.通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度与价值观：

1.通过对数学归纳法证明不等式的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；

2.通过对数学归纳法证明不等式的例1、例2的讨论，培养学生团结协作的精神；

3.通过质疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神。

2.通过事例，掌握运用数学归纳法证明不等式的思想方法。

3.培养逻辑思维能力，运算能力和分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达证明过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路。

【教学难点】恰当的进行放缩，利用假设和已知条件证明当n=k+1时结论成立。

【教学方法】师生互动、小组合作讨论、共同探究。

【教学过程】

一、课前预习，尝试理解

预习自学教科书p50-p51例2的内容，独立完成导学案【预习案】及探究一、二，找出疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑．

二、释疑解惑，导入新知

前面我们研究了用数学归纳法证明等式、整除、平面几何等与无限多个正整数相关的命题，数学归纳法用有限的步骤（归纳奠基、归纳递推）取代了难以实现的无限验证，实现了由有限到无限的飞跃，这是人类充满智慧的证明方法，今天我们一起研究用数学归纳法证明与无限多个正整数相关的不等式命题。

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下面我们来看看导学案的探究一、二（即教科书例1、例2）的解答：

探究一

归纳——猜想——证明

观察下面两个数列，从第几项an起始终小于bn？证明你的结论. abnn2:1,4,9,16,25,36,49,64,81,…；

2n:2,4,8,16,32,64,128,256,512,….

n分析由数列的前几项猜想,从第5项起,anbn,即n22nnN,n5.用数学归纳法证明上述猜想时,第1步应证n5的情形.

探究二

证明不等式sinnnsin(nN)

2

三、合作探究，展示成果

1.探究一、探究二从n=k到n=k+1的证明如何理解？有没有与教材例题不一样的做法？

2.由探究一我们可以得到什么样的数学研究方法？

3.由探究一、探究二总结用数学归纳法证明不等式的规律技巧。

师生总结：

1.探究一证明2k1k还可以用比较法，根据二次函数单调性及k的范围，22k2（-2k1）（k-1）-2（5-1）-2140；

22.探究二的证明用到了绝对值三角不等式及三角函数的有界性进行放缩；

3.由探究一我们可以用不完全归纳法得到猜想，再用数学归纳法证明，即“大胆假设，小心求证”，这是发现数学结论的常用研究方法；

4.

四、方法应用，拓展延伸

跟踪训练1

教科书23页习题4.2 2.（1）

不等式2nn4对哪些正整数n成立？证明你的结论。

跟踪训练2 教科书24页习题4.2 6 已知1，2，，n(0,),n是大于1的正整数，求证

sin(1+2++n)sin1+sin2++sinn.五、感悟小结，布置作业

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1.数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤; （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，推证当nk1时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 2．数学归纳法与其他方法的联系

数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与正整数有关的不等式，其他证明不等式的方法运用比较广泛，但在具体应用时，各自又有具体的要求，如反证法，必须有严格的格式(以否定结论入手，推出矛盾)，分析法也有独特的表达格式，而数学归纳法必须分两步且在第二步中，要从假设出发推证n＝k＋1命题正确时，也经常用到综合法、分析法、比较法、放缩法等．

3．用数学归纳法证明不等式时常用技巧

用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值n0的定位，要弄清楚n＝k和n＝k＋1时的结论是什么，要有目标意识，紧盯n＝k＋1时的目标，对n＝k＋1时的结论进行一系列的变化，变化的目标就是n＝k＋1时的结论形式，这种变化就是“凑假设，奔结论”,常用放缩法做辅助手段．

4.作业布置

导学案中的训练案

1111（1）用数学归纳法证明：1＋2＋2＋…＋2<2－(n≥2，n∈N)．

23nn（2）求证：当n≥1(n∈N)时，(1＋2＋…＋n（)1111）≥n2. 23n（3）在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋) 1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

11152)证明：＋＋…＋<. a1＋b1a2＋b2an＋bn12

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