一 比较法优质课一等奖

不等式的证明-----比较法

织金县第二中学

邓忠宇

一、教学目标

1．理解比较法证明不等式的依据．

2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．

3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．

四、教学难点

通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．

五、教学过程[来源:Zxxk.Com]

（一）导入新课

已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 【证明】

2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0, 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，

即2a3－b3≥2ab2－a2b. （二）讲授新课

教材整理1

作差比较法

1．理论依据：①a＞b⇔

；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔

. 2．定义：要证明a＞b，转化为证明

，这种方法称为作差比较法．

3．步骤：①

；②变形；③

；④下结论．

教材整理2

作商比较法

aa1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔

；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1. bb2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明

，这种方法称为作商比较法．

3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．

（三）重难点精讲

题型一、作商比较法证明不等式

a＋b2例1已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab). 【精彩点拨】

判断aabb与?ab?s\up21(f(a＋b,2)的正负)→作商变形→与1比较大小→下结论

a＋b2【自主解答】

∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)＞0，

a＋ba＋ba－bb－222a＝aa·b＝. b－aabb作商)?ab?s\up21(f(a＋b,2)∵a≠b，∴当a＞b＞0时，

a－b2a－baa＞1且＞0，∴＞1，

bb2a＋ba＋b22而(ab)＞0，∴aabb＞(ab).

a－b2a－baa当b＞a＞0时，0＜＜1且＜0，∴＞1，

bb2a＋ba＋b22而(ab)＞0，∴aabb＞(ab). a＋b2综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有aabb＞(ab).规律总结：

1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．

a2．运用a＞b⇔＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应b注意分类讨论．

例题．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. 【证明】

∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)

＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a) ＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．

∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，

[来源:Zxxk.Com]

∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，

即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. （四）归纳小结

—作差法比较法——作商法—实际应用

（五）随堂检测

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(

) A．t＞s

B．t≥s

C．t＜s

D.t≤s

【解析】

s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，

∴s≥t. 【答案】

D 2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(

A．P＞Q

B．P＜Q

C．P＝Q

D.大小不确定

【解析】

P－Q＝log3＋1)－log2a3＋1a(aa(a＋1)＝logaa2＋1. 当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜a3＋1a2＋1＜1，

∴loga3＋1aa2＋1＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. a3当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，＋1a2＋1＞1，

∴loga3＋1aa2＋1＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 综上总有P＞Q，故选A. 【答案】

A 3．设a，b，m均为正数，且ba＜b＋ma＋m，则a与b的大小关系是________．

【解析】

b＋mba＋m－m(ab)a＝a(am)＞0. 又a，b，m为正数，[来源:Z|xx|k.Com]

∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0. 即a＞b. 【答案】

a＞b

)

六、板书设计

2.1 比较法

教材整理1

作差比较法

教材整理2

作商比较法

例1：

例2：

例3：

学生板演练习

七、作业布置

同步练习：2.1比较法

八、教学反思