信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响优秀公开课教案

信息技术应用——μ，σ对正态分布的影响

教材：人教A版

选修2-3 一、

教学目标

1．知识与技能

①

通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源

②

通过借助几何画板，理解正态分布的概念及其曲线特点，掌握利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题

2．过程与方法

①

通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法

②

通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力

3、情感态度与价值观

①

通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣

②

通过3原则的学习，充分感受数学的对称美

二、

重点、难点

重点：正态分布密度曲线的特点，利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题

难点：正态分布密度曲线的特点

三、

教学过程

教学环节

以通过FLASH动画对高尔顿板试验进行演示。

教师创设情境，为导入新知做准备。

学生感悟体验，对试验的结果进行定向思

教师利用多媒体进行动态演示，能提高学生的学习积极性，教学内容

师生互动

设计意图

境激情

考。

学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分

布是有规律的。

引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程。

在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距。

教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？

学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代

⑶

将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线。

教师引导学生得到：此时小球与底部接触时的横坐标X是一个连续型随机变量。

表的是相应区间内数据的频率

提高学习数学的兴趣。

研

探

论

证

1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律

⑴

将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表。

⑵

以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图。

通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移。

通过这里的思考回忆，加深了对频率分布直方图的理解。

这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡。

教师通过课件动态演示频率分布直方图无限分割的过程。

通过几何画板让学生直观感受正态曲线的形成过程。

[来源学科2．正态曲线：

曲线中任意的一个x均对应着唯一的一个y值，经过拟合，这条曲线

教师提出课题并板书：正态分布

[来源学。科。网Z。X。X。K]

与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲是（或近似地是）下列函数的图象：

,x12ex222,x,, 教师分析正态分布密度曲线表达式的特点，并指出两个参数的实际意义。

线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观演示正态曲线来源。

其中是圆周率，e是自然对数的底，实数和（＞0）为参数。我们称,x的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

网]

[来源学_科_与分别反映的是均值与标准差。

3．正态曲线对应的解析式中含有两个学生研探新知，并进

针对解析式中含有两个参数，学生较难独参数和。下面结合函数解析式研行推理论证。

究曲线特点，并分析参数和对曲线的影响：

其中教师对学生进行学法指导，优化学生思维。

教师利用几何画板，网]

先后固定参数和，研

⑴

固定的值，观察对图象的影响

立分析，教师通过固通过变化参数和的

探

论

[来源学科值得到一系列正态曲线，学生观察图象，分组讨论并派代表发言。

学生通过观察得到：定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度。

网]

当一定时，曲线随着

该环节教师利用多媒体引导学生归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力。

证

的变化而沿x轴平移；结合解析式分析知0时它是个偶函数，于是参数决定了正态

0时曲线的对称轴，的图象可由0时的图象平移得到。（教师板书：曲线是单峰的，它关于直线x对称）

同时得到：曲线在x时达到峰值1

2（教师板书）。

研

⑵

固定的值，观察对图象的影响

学生通过观察并结合参数与的意义可以分析得到：当一定时，

该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想。

这样的处理很好地突出了重点，突破了影响了曲线的形状。即：越小，偏离均值

的程度越小，则曲线越瘦高；越大，偏离均值的程度越大，则曲线越矮胖（教师板书）。

难点。

探

论

证

⑶

综合以上图象，你还能得到正态曲线的哪些特点？

综合以上的图象并结合解析式分析得到：曲线位于x轴上方，与x轴不相交。（教师板书）。

最后引导学生由概率知识知：曲线与x轴之间的面积为1（教师板书）。

4．曲线与x轴之间的面积为1。根据对称性知，随机变量X落在对称轴引导学生回忆得到：通过设疑，引起学生

这为接下来提出问题，引入正态分布的定义做铺垫。

X落在区间a,b的概对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加x两侧的概率都是12。请思考：率的近似值其实就是在对于任意一个随机变量X，如何求出落在给定区间a,b内的概率？

曲边梯形的面积，曲边a,b上的阴影部分即y 梯形面积等于函数x在区间a,b上的深了对定积分几何意定积分。即：

Pa＜Xbba,xdx义的理解。

O abx

5．

正态分布概念：

一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足

教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法。

引导学生分析得到，以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新Pa＜Xbba,xdx，则称X

研

探

论

证

的分布为正态分布，常记作如果随机变量X服从正态N,2。否能够取值，均不影响生把前后知识联系起分布，则记作X~N,2。

X所落区间的端点是知识。同时培养了学变量落在该区间内的概率。

引导学生分析，求定来进行思维的习惯。

6．3原则

学生发现了所学知识无法解决的问题，从而引起了他们的疑问，激发了他们要解决问题的欲望，变“要我学”为“我要学”。

积分，通常需要求出原函数。根据现有知识，

几何画板演示3原则：

无法求,x原函数。得寻求别的方法求概率。

教师通过利用几何画板演示随机变量X落

在区间,,

新知识的直接给出，学生接受或多或少会P＜X0.6826

2,2]与

3,3]这三有点困难。教师利用几何画板，从数与形上体现了3原则的内容，能很好加深学生的印象便于理解。

个区间内的概率，引入3原则的内容，并指出：在3,3区间以外取值的概率只

有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

P2＜X20.9544

所以，在实际应用中，

我们通常认为服从于正

态分布的随机变量只取

这为后面3原则的3,3

P3＜X30.9974

之间应用作了铺垫。

的值，简称3原则。我们可以利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题。

(教师板书3原则的内容)

反

馈

例题1 把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b，下列说法不正确的是（

）

A．曲线b仍然是正态曲线

学生独立分析，并学生间互问互检，质疑答辩。教师排难解惑，帮助学生巩固深化所学知

通过该例的设置，深化了学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数B．曲线a和b的最高点的纵坐标相等

识。

C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线b为正态分布的总体的期望比以曲线a为正态分布的总体的期望大2 例题2

在某次数学考试中，考生的成绩X 服从正态分布，即

X ~N(90,100). （1）试求考试成绩

X 位于区间(70,110)上的概率。

学生易分析知：正态曲线a经过平移仍是正态曲线，峰值不变。而曲线的左右平移与即均值（期望）有关。故C选项的说法不正确。

学生相互讨论，根据题意可知与的理解。

通过一个贴近生活的实例，学生体会到了数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情。

90，

10，由3σ原则可得：

P70＜X110

P2＜X2矫

（2）若这次考试共有2000名考生，

试估计考试成绩在(80,100)间的考生0.9545

P80＜X100

0.6827

所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有正

大约有多少人？

0.682720001365人

例3 已知X~N (0,1)，则X在区间

学生独立思考：根据题意可知要求学生能根据题意0，

,2（

）

内取值的概率等于1

PX＜2

画出草图，分析已有条件得到两个参数的1解，利用解析式求出1P-2＜X2A.0.954

B.0.046

C.0.9772

2结果。再一次强化了1D.0.023 10.9545

2数形结合的解题思

0.023想。

1．

正态曲线有哪些具体的特点？

2．3原则是什么？它对、取任何数，数据落到相对区间内的概率是不变的吗？

教师引导学生进行课堂小结，自我评价。

学生可以展示自己的所悟所得，与同伴分享成功的喜悦；还可以提出自己的困惑，师生共同探讨。将课堂小结作通过学生提出学习本节内容中的困惑和与同伴分享学习成果，引导学生进行反思与自我评价。教师不仅引导学生反思学习知识，还反思思想方课

堂3．思想方法：数形结合等。

小

结

4．生活中的正态分布

为自我评价的主阵地。

法。

教师结合例子对正态分布进行介绍。

通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用。

学生通过作业进行课外反思，通过思考发散思维，发现创新。

教师通过布置作业，进行自我评价，更新教法。

学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足。

1. 必做题：课本P75页A组第1、2题，B组第2题

作2. 选做题：找一找实际生活与生产业

中，还有哪些随机现象是服从或近似服从正态分布的，并解释原因.