2.2.4 点到直线的距离教学设计思路

《点到直线的距离》教学设计

沈阳市第26中学

张蓬敏

教材说明

本节选自人民教育出版社B版教材必修2《2.2.4 点到直线的距离》

课型

新授课

课时

1课时

学情分析

（一）学生已有知识基础或学习起点

在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、、直线方程、两直线的位置关系，同时也学习了用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法。

（二）学生已有生活经验和学习该内容的经验

在前面学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力，同时在以前的数学学习中学生已经经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

（三）学生的思维水平以及学习风格

我班学生基础知识比较扎实、思维活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．

受以前传统教学方式的影响，学习风格上还保留着被动接受的习惯，缺乏主动思考和探索的精神。但毕竟是理科班，学生学习数学的热情还是很高的。

（四）学生学习该内容可能遇到的困难 1. 高一学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练。

2. 我班学生数学抽象能力较薄弱，在大量的字母运算中会遇到一些困难。

但只要注意适当的“诱”，提供恰如其分的导向性信息，相信学生能度过这两个探究和运算的难关。

3. 一些性格内向或缺乏主动探究精神的学生在自主探究、合作交流环节有可能游离于课堂之外。

（五）学生学习的兴趣、学习方式和学法分析

理科班大部分的学生愿意表达，参与小组活动的热情也很高。对于这样一节本身枯燥抽象的公式推导课，教师切忌多说，充分发挥学生的主动性和积极性，使学生通过分析利用各种信息和信息资源，自主探究、主动求和、使学生成为课堂的主人。探究时留给学生足够时间独立思考，注意学生个人的潜能的挖掘和开发，并且引导小组活动，鼓励生生合51

作，在和谐的课堂氛围中通过学生的动手实践，得出解决点到直线距离问题的方法。这样培养了学生的学习兴趣的同时还让他们在探索问题的过程中获得成功的体验。

教学内容分析

（一）教学的主要内容

这节课是人教B版高一上学期必修2《2.2.4 点到直线的距离》的第一课时，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用。

（二）教材编写的特点和设计意图

点到直线的距离是直线方程的一个应用，也是坐标法的继续。从知识体系上看，是研究平面上两点之间距离的基础上来进一步研究点线距离，是对距离度量的完善；从知识结构上看，点到直线的距离是前面讨论两点间距离的深入、后续研究直线和圆的位置关系的准备。本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算，其学***台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识。本节课是解析几何的重要内容，对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用。

教学目标

（一）知识与技能。

理解点到直线的距离公式的推导过程，掌握点到直线的距离公式，掌握点到直线的距离公式的应用。

（二）过程与方法

通过对公式推导方法的探索与发现，体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，提高观察、类比、抽象、概括、数形结合等能力。

（三）情感态度与价值观

通过对问题的探究活动，获得成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，优化数学思维品质。 教学重点

点到直线的距离公式及其应用。

教学难点

点到直线距离公式的推导。

教学策略的选择与设计

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本课首先引用具体实例计算点到直线的距离，采用两种不同方法，而这两种方法凭学生已有的知识基础，在教师适时、适当的引导下学生能够通过自主探索而接受、掌握。第一种方法是综合利用直线方程、直线与直线垂直、两条直线的交点及平面上两点间距离等知识来解决的。从知识结构体系上讲，是已学知识的综合复习与应用；从能力上讲，是培养学生分析问题、解决问题的能力再现，符合认知发展规律。而第二种方法则是借助前面推导两点间距离公式的方法构造直角三角形，通过面积相等来计算点到直线的距离；从认知结构上看，承前启后，关键在于直角三角形的构造与等面积法的使用。为突破难点，教师逐步引导，对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，进而为学生自主推导点到直线的距离公式作好铺垫和准备。接着就是学生在引例的启发下自主探究推导出点到直线的距离公式。随后就是知识应用和巩固练习，在这其中，穿插了两个小插曲：第一，两平行线间距离公式的推导；第二，解析法在平面几何中的应用，进一步把学生的思维引向深入，有利于学生数学思维品质的养成。总之，本节课主要遵循“教师为主导，学生为主体”的原则，教师必须抛弃过去的那种单纯的教师讲授，学生接受的教学模式，在教学中启发引导，迁移联想，构建模型。

教学资源与手段

资源：三角板、彩粉笔、教材、多媒体课件

手段：利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化教学过程，提高课堂教学效率。

教学过程设计

教学过程

创

设

问

题

情

境

教

学

内

容

问题（引例）：如何计算下面四边形的面积？

y D

A （－1，3）

O C x

（6，－1）

B

（3，－2）

教

师

活

动

打开多媒体课件，展示问题，提问：在前面的学习中，我们已经能够从计算斜率的角度判定四边形ABCD的形状，你能判断这个四边形形状吗？请你试试。

学

生

活

动

设计意图

学生动手演算，学生很快能得出结果：平行四边形

口算能力强的学生随即说出了结果

复习旧知

导入新课

53

提问：既然是平

行四边形，如何

计算它的面积

呢？

教师提问：不妨

以AB为底，你能

计算AB的长吗？怎么计算？

点D（2，4）到直线提问：高呢？怎AB的距离DE 样求点D到AB的

距离呢？

打开多媒体课件下一页,你能用我们前面所学知识解决这个高DE的计算问题吗？

将学生分组，使其合作、讨论、交流

学生回答：底乘高

学生回答：两点距离公式

AB=（-1-3）2+（3+2）2

复习旧知

导入新课

激发学生尝试、操作、演算

探究、学习的欲望

自主探究，发挥学生主观能动性，探究、讨论、演算、既加固所交流

学知识的应用，也加强学生分析能力的提高

54

D（2，4）

y

问

A（－1，3）

题

O x 解

决

B（3，－2）

点D（2，4）到直线D（2，4）

ABy 的距离DE

A（－

1，3）E

O x

B（3，－2）

D（2，4）

y

A

（－1，3）

x

O x

B（3，－2）

问

题

解

决

点D（2，4）到直线

AB的距离DE

学生甲交流想法：

①先计算DE的斜率

kAB=3+2 -1-3学生思维在所学知识的综合应用中自由遨游，相互交流研究成果，共享问题解决后的喜悦，使学生在有所收获的同时激起继续学习新区和欲望

5=－

，

4聆听个别学生的汇报，并及时板书，适时引导，同时也注意向其他学生作解释，以防部分学生的思维跟不上，还得注意教师和学生之间的互动，调动学生的课堂参与性

由DE⊥AB，则4kDE= 5②两点式求AB：

5x+4y－7=0 点斜式求DE：4x－5y+12=0 ③联立方程求交点E的坐标：E（－1388

，

）

4141④最后计算DE的长：

DE=1388(2)2(4)2

4141及时总结解决方法，既加深学生对综合应用所学知识感受、体会、思索、的感悟和产生进一步研究学领会，也习的欲望

能培养并提高学生的综合分析能力，帮助其形成一定的数学思想

肯定赞许学生的做法并稍作小结，同时也指出：这样做计算量偏大。问：我们能否简化这种计算呢？

55

点D（2，4）到直线AB的距离DE 提问：前面我们在推导平面上两点间距离时是采用什么方法得出结果来的？

部分学生没有印象（但试图回忆起来），部分学生印象不深，正在回忆之中，而另有学生印象比较深刻。随即就有若干学生欣喜的喊出：“构造直角三角形”

肯定学生的成果，提问：当时，直角三角形是如何构造的？学生齐答：过D点你还有印象吗？作分别x轴和y轴你能构造直角三的平行线

角形重新解决这个问题吗？怎么样去构造直角三角形呢？

打开多媒体课件下一页,提问：很好，如何求DE呢？用什么方法去求呢？

点D（2，4）到直线AB的距离DE 几乎所有学生都有答案，教室开始沸腾，声音颇多：

有人喊：“三角形相似”

有人喊：“面积相等”

复习旧知，揭示知识间相互联系，启发学生用同一方法解决不同问题，让学生感觉对数学方法和数学思想的学习显得更为重要

学生在教师的引导下已经开始具备自主探究的条件和能力，心中稍有数学学习的成就感，激发了学生的学习热情和学习欲望

学生心有感触，更为喜悦，学习激情进一步增强，自主探究的欲望更大，创造能力得到展现

肯学生的想法，提问：相似也启发学生好，面积也好，学生回答：求出点的思维，都会跟线段的长M和N的坐标？

发挥学生度发生关系，你的创造性

怎样去求线段的长？

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进一步肯定学生的做法，问：怎样求点M和N的坐标呢？

提问：你打算怎样去求呢？请动手试试。

请两名学生板演，其余学生也着手探究。

来回走动巡视，适时作好个别指导

学生回答：先求直线AB的方程，再分别令x=2、y=4

学生乙板演其做法，思路为：先求MD、DN后用勾股定理求出MN，再

由⊿MED∽⊿DMN可得

MDDE =

，则可求出MNNDDE 学生丙板演其做法，思路为：先求MD、DN后用勾股定理求出MN，再根据⊿DMN面积相等得到

MD×NDDE= MN让学生充分参与到数学教学的活动中来，使学生在具体的数学思维活动中掌握知识，感悟和领会数学思想，培养其分析问题、解决问题的能力

让学生亲小结对比这两种聆听感受，明确选自感悟体不同的计算方择的方法不同，计验，为下法，采用构造法算量也不一样

面的研究计算量小

作准备

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公式推导

一般情况：设直线l：Ax+By+C=0（A≠0且B≠0），直线l外任意点P（x0，y0），

y

P M

Q

N O x

打开多媒体课件则P到l的距离为 下一页，适当板 书要点

∣Ax0+By0+C∣

d= 提问：我们能否A2+B2

借用这种构造法此式对A=0或B=0来求直线l外任也成立

意点P到l的距

离呢？请试试。

注意引导学生分析

板书：设PQ⊥l于Q，设点M的坐标为（x1，y0），点N的坐标为（x0，y2）

学生丁板演，其余学生自主探究，体会、感受公式的推导。学生丁的板书为：

Ax1+By0+C=0 Ax0+By2+C=0 得

让学生在知识的发生发展过Ax0+C程中去体y2=－ B会、领悟知识，通PM=∣x1－x0∣

过数学思By0+C维活动的=∣－

－x0A参与，更能有利于∣

学生对知A x0+By0+C识的掌=∣

A握，教给学生探究∣

问题的方PN=∣y2－y0∣

法比教给Ax0+C学生知识=∣－

－y0B更重要，新课程的∣

观点就是A x0+By0+C让学生在=∣

B活动中进行研究性∣

学习，让MP×NP课堂富有所以PQ = MN生命力

x1=－=MP×NP PM2+PN2

=∣Ax0+By0+C∣ 22A+B

By0+C A58

板书学生的探究成果，并提问：此式是在A和B都不为零的情况下推出来的，那么对于A=0或B=0是否成立呢？

学生经过片刻的思考，很容易得出结果，对于A=0或B=0的情况也可以用此式点到直线的距离

完善思维，引起学生注意数学思维的严密性，培养学生严谨的数学态度，同时也告诉学生：研究问题可以先考虑一般情况，在验证特殊情况。

公

式

运

用

打开多媒体课件下一页，讲授、板书、注意师生例1：求点P（－1，互动；板书解答2）到下列各直线的过程是给学生作距离

示范。

①2x+y－10=0 注意强调：一定②3x=2 要先把直线方程化为一般式，在用公式计算

聆听、理解、体会知识的应用，在师加强知识生相互交流中学会的巩固运应用知识，学会规用

范答题。

公

式

运

用

打开多媒体课件下一页，引导学生分析，注意启例2：求两条平行直发学生思维，与线x+3y－4=0与学生互动，师生2x+6y－9=0之间的共同探究，培养距离。

学生分析问题、解决问题的能力，适时适当板书

在教师引导下积极参与数学教学，在数学思维活动中进一步感受知识的应用，思维活动逐步深入，体会线线距离转化为点线距离的活动过程

平行线间距离从思维上比点到直线的距离更深进一层，通过本例的教学，既培养学生转化的数学思想，也为平行线间距离公式的推导作好铺垫

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打开多媒体课件下一页，适当板书探究问题，让一般地，两平行直学生自行研究平线m：Ax+By+C1=0 行线间距离，教n：Ax+By+C2=0 师巡回走动，解（C1≠C2）间距离为

决个别学生所遇到的问题，同时∣C1－C2∣d= 指出：一定要把22A+B

直线方程化为x项和y项系数对应相同，再用公式计算

随堂练习：

1.求点到直线的距离

①P（3，－2） l：3x+4y=25 打开多媒体课件②P（－2，1） 下一页，请3至4l：3y+5=0 名学生板演，其2.求平行线间距离

余学生自主练①5x－12y－2=0与习，教师巡回走5x－12y+15=0 视，注意个别指②6x－4y+5=0与2y导

－3x=0 3.点M（5，0）到过原点的直线l的距离为3，求l的方程。

与学生共同探讨，注意启发学生思维、引导学生分析，对坐标系的建立要抓住“垂直”和简化计算，可以让学生展开讨论建立方法，适时对比分析，使学生明确。

尝试感受探究过程，在自主学习中感悟知识，学生的思维品质得到提高，对问题的认识在上一个层次。

学生在平行线间距离的推导过程中体会自主学习的过程，其思维得到训练，提高了学生认识的广泛性和深刻性

加强训学生答题，自主练练、巩固习，巩固应用知识，应用、提加深知识的识记

高能力

例3：请建立适当的直角坐标系证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

学生讨论、感受和领会建立坐标系的方法，感悟用代数方法研究几何问题的过程，领会几何与代数的对立统一性，体会代数方法处理几何问题的方便

解析法的应用，几何代数化的应用举例，几何问题化为代数问题的转化思想，体会知识之间是相互联系的。

60

1.点到直线的距离

∣Ax0+By0+C∣d= 打开多媒体课件A2+B2

明确所学下一页，调动学2.平面上两点间距回顾总结，明确本基本内生的主体性，师离

节课所学的基本内容，帮助生共同回忆所学容。

学生整理∣C1－C2∣内容，使学生明d= 知识。

确所学内容。

A2+B2

3.解析法（几何代数化处理）。

课

堂

小

结

61

教学反思

（一）目标的达成

1. 在教学中能注意高一学生由初中到高中的知识与能力的衔接。初中对点到直线的距离只是停留在理解的直观认识上；而高中要上升到理性的认识，把直观的问题通过数形结合的方法提升到理性的认识上，提高了学生的应用知识能力。

2. 本节课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细致、到位、适度；在探索点到直线的距离公式的时候应用到启发性的教学方法，在老师的引导下，通过学生的动手实践，得出解决点到直线距离问题的方法，这样培养了学生的学习兴趣的同时还提高了学生的全面思维能力、提高了学生的数形结合的解题方法。

（二）教具的使用

利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率。

（三）遇到的问题

1. 仅仅通过一堂课的学习还没有从根本上解决学生思维过程层面及计算问题上的不足。如学生在课后作业中普遍出现以下三个问题：

（1）使用公式时，未将直线方程写成一般式，随意改写方程；

（2）遇到A=0或B=0的情形，只会套公式而想不到用数形结合直接求；

（3）没有加绝对值算出的结果是负的。

2. 几个边缘学生学习风格上还保留着被动接受的习惯，缺乏主动思考和探索的精神。

3. 对于学生探究活动的时间总是把握不好，导致练习时间不够。

（四）优势、不足和改进计划

1. 优势：

（1）教学风格平易近人，能够很好的调动学生们的积极性和课堂参与。

（2）树立以学生为主体的思想。通过给学生提供自主探索和独立思考的时62

间和空间，引导他们主动参与到思维和方法的形成过程当中。体现了学生主体地位和教师的主导作用。

2. 不足： （1）对一些突发事件的准备不是特别充分，没有很好的根据学生当堂的表现而改变原有的教学策略。

（2）对学生思维方面的引导不够深入，易错点在总结时强调得不够，这也是导致学生课后作业出现错误的原因之一。

3. 几点想法：

（1）坚持课改，以生为本：新课标与原大纲相比，一个明显的特征是增加了过程性目标和体验性目标，特别强调学生“经历了什么”、“体会了什么”“感受了什么”。对数学的认识不仅要从课本关于数学本质的观点去领悟，更要从数学活动的亲身实践中去体验，重视从学生的生活实践和已有的知识经验中学习数学、理解数学和运用数学。因此，在以后的教学中我将继续关注学生思维形成过程的培养，多去调动学生学习的自主性，尽量使他们的思维处于活跃状态，

（2）精心设计问题，引导学生展开问题的讨论：由于我校是普高，学生基础普遍较差，若完全放手，把课堂交给学生，教学任务难以完成，教学效果也难以保证。既要体现“学生自主探究”的新理念，也要正视我校学情，因此，我在今后的教学过程设计中，还需加强分层设问、以问指路的方式。在问题的设置上多下功夫，在教学过程的不同环节教师抛出的问题既要有梯度，又能引发学生深层次的思索。当然提出的问题，学生还必须容易入手，这样既保证了学生的积极参与，又有效地控制了教学时间。这将是下一阶段我的主要努力方向。

总之，通过这一节课的课前伏案与课上教学，我觉得自己对于新课标以及新课标下的课堂教学又有了很多新的认识和感悟。教育不是灌输，而是点燃火种。我将继续努力！

教研组点评

高中数学的课堂教学相对来讲比较枯燥，怎么结合实际来实施素质教育，优化课堂教法，提高教法效益，已经成为每个数学老师在今天的课改面前都有的困惑。听了张蓬敏老师《点到直线的距离》的一堂课改课，我们数学教研组内的老师们都感到很受启发。现将大家的点评总结如下：

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（一）教学目标：本节课教学目标明确，并能兼顾学生能力培养、意志品质等方面的内容；广度、深度符合数学课程标准和教材的要求，而且符合我校学生实际。从学生们的当堂反馈和课后作业看，大家一致认为张老师对于本节课的教学中达到了预期教学目标。

（二）教学内容：这节课的主要内容是点到直线距离公式的推导和应用。应用是重点，推导是难点，而突破难点的关键是如何引导学生自然地想到构造Rt△。对于这个问题，教材中的处理方法是：没有说明原因而直接作辅助线，这样做无法展现为什么会想到要构造Rt△这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行填鸭式教学。事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，让学生真正地参与进来，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。张老师没有像教材中那样直接作辅助线，而是对教学内容进行重新设计，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的Rt△。并且以变式训练的形式来学习点到直线的距离公式在不同题型中的应用。

简言之，她的设计力求以启迪思维为核心，充分运用已学过的知识，

引导学生学会利用转化思想，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，不仅探索出公式的表达式，还使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，从而培养了学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。

（三）教学方法：数学教学是数学活动的教学，美国教育学家杜威早就提出：“让学生从做中学。”这种教学理念反映在数学教学上就是“做数学”，“做数学”就是要用一种亲身体验的数学学习方式来有效地回避那种“灌输式”的数学学习。它强调学生学习数学是一个现实的体验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性。因为“听过会忘记，看过能记住，做过才能学会（you do, you learn）。”

张老师的这节课充分体现了在数学教学中让学生经历“做数学”的过程。她以由浅入深的分层设问、适度的启发诱导，将学生推上了自主学习的舞台，真正把学习的主动权交给了学生。她利用小组合作学习、辩论等多种形式，培养和激励学生独立思考、勇于创新、善于表达的能64

力。同时使学生在倾听与辩论、接纳与赞赏之中，学到与他人交流的技巧，这对于学生的综合能力和人格完善大有裨益。学生自始至终置身于教师为其创设的发现和讨论的情境之中，兴趣盎然，积极主动地参与探讨、质疑、创造等教学活动，让学生在思考、交流、倾听、争论和发现中学习数学知识,充分发挥了学生的主体作用。体现了在学生原有生活经验和认知的基础上进行学习的建构主义教学理念。

（四）存在的遗憾：课标对于“点到直线距离”的设置为一课时，再加上张老师任教的班级是重点班，学生普遍基础相对较好，基于此，张老师为本节课预设的内容非常多。整堂课下来给人的感觉是环环相扣、课堂容量和密度都很大。课堂容量过大导致一些师生互动环节没有进一步的展开和深入。因为内容多，很多问题没有给学生充分的思考与讨论时间，最后的小结也有些仓促。组内老师一致的建议是删掉例3，再加一节习题课。这样，本节课学生探究活动的时间就从容多了，还可以利用最后一点剩余时间进行一个或两个小题的当堂测试，效果会更好。

通过这节课，我们全组的老师们都深切地体会到，我们的数学教学不仅应关注学生获得怎样的结果，更应关注他们是否经历了自主探索的过程。只有让学生亲身经历数学的实践、探究与交流的过程，才有可能懂得数学的价值和意义。也只有让学生在“做中学”，他们自身才能获得最大程度的发展。

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