1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优秀教案案例

明目标、知重点

1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．

1．如果两个变量不呈现线性相关关系，常见的两个变量间的关系还有指数函数关系、二次函数关系．

2．两个变量间的非线性关系可以通过对解释变量的变换(对数变换、平方变换等)转化为另外两个变量的线性关系．

3．比较不同模型的拟合效果，可以通过残差平方和的大小，相关指数的大小来判断．

探究点一

非线性回归模型

思考1

有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？

答

首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．

思考2

如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？

答

可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．

例1某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

身高x/cm

体重y/kg

身高x/cm

120

130

140

150

160

170 60

6.13

70

7.90

80

9.99

90

12.15

100

15.02

110 17.50

体重y/kg

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05 试建立y与x之间的回归方程．

解

根据表中数据画出散点图如图所示．

由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y. x z 60

1.81

70

2.07

80

2.30

90

2.50

100

2.71

110

2.86

120

3.04

130

3.29

140

3.44

150

3.66

160

3.86

170 4.01 画出散点图如图所示．

由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：

＝0.663＋0.020x，则有

＝e0.663＋0.020x. 反思与感悟

根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．

跟踪训练1

在彩色显影中，由经验知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝A

(b<0)表示．现测得试验数据如下：

xi

yi

xi

yi

试求y对x的回归方程．

b解

由题给的公式y＝A，两边取自然对数，便得ln y＝ln A＋，与线性回归方程相对照，x1只要取u＝，v＝ln y，a＝ln A．就有v＝a＋bu. x1题给数据经变量置换u＝，v＝ln y变成如下表所示的数据：

x0.38

1.19

0.43

1.25

0.14

0.59

0.20

0.79

0.47 1.29 0.05

0.10

0.06

0.14

0.25

1.00

0.31

1.12

0.07

0.23

0.10 0.37

ui

vi

ui

vi

20.000

－2.303

2.632

0.174

16.667

－1.966

2.326

0.223

4.000

0

7.143

－0.528

3.226

0.113

5.000

－0.236

14.286

－1.470

2.128 0.255 10.000 －0.994

0.146可得ln

＝0.548－，

x即

＝e＝e0.548·≈1.73，

这就是y对x的回归方程．

探究点二

非线性回归分析

思考1

对于两个变量间的相关关系，是否只有唯一一种回归模型来拟合它们间的相关关系？

答

不一定．我们可以根据已知数据的散点图，把它与幂函数、指数函数、对数函数、二次函数图象进行比较，挑选一种拟合比较好的函数，作为回归模型．

思考2

对同一个问题建立的两种不同回归模型，怎样比较它们的拟合效果？

答

有两种比较方法：(1)计算残差平方和，残差平方和小的模型拟合效果好；(2)计算相关指数R2，R2越接近于1的模型拟合效果越好．

例

2 为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：

天数x/天

繁殖个数y/个

1

6

2

12

3

25

4

49

5

95

6 190 (1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；

(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；

(3)计算相关指数．

解

(1)所作散点图如图所示．

(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y，则

x z 1

1.79

2

2.48

3

3.22

4

3.89

5

4.55

6 5.25

由计算器得：

＝0.69x＋1.115，则有

＝e0.69x(3)

y n2∑

i＝∑

i＝1i＝1n2＋1.115. 6.08

6

n12.12

12

i124.17

25

48.18

49

96.06

95

191.52 190 2(yi－

i)＝4.816 1，∑

(y－y)＝24 642.8，

i＝4.816 1R2＝1－≈0.999 8，

24 642.8即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了99.98%. 反思与感悟

研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残差

1，

2，…，

n来判断原始数据中是否存在可疑数据，用R2来刻画模型拟合的效果．

跟踪训练2

对两个变量x，y取得4组数据(1,1)，(2，1.2)，(3,1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲y＝0.1x＋1，乙y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，丙y＝－0.8·0.5x＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．

解

对甲模型：残差平方和∑

(yi－

i)2＝0.010 9；

＝i12对乙模型：残差平方和∑

(y－

)＝0.004 9；

ii＝i142对丙模型：残差平方和∑

(y－

)＝0.000 4. ii＝i144显然丙的残差平方和最小，故丙模型更接近于客观实际．

1．散点图在回归分析中的作用是(

) A．查找个体个数

C．探究个体分类

答案

D 2．变量x与y之间的回归方程表示(

) A．x与y之间的函数关系

B．x与y之间的不确定性关系

C．x与y之间的真实关系形式

D．x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合

答案

D B．比较个体数据大小关系

D．粗略判断变量是否相关

3．变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为(

) A．1

C．0

答案

C 4．非线性回归分析的解题思路是________．

答案

通过变量置换转化为线性回归分析

[呈重点、现规律]

非线性回归问题的处理方法

(1)指数函数型y＝ebxa

＋B．－0.5 D．0.5 ①函数y＝ebx＋a的图象：

②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebxa，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化＋为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出b，a. (2)对数曲线型y＝bln x＋a

①函数y＝bln x＋a的图象：

②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a，

再根据线性回归模型的方法求出a，b. (3)y＝bx2＋a型

处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.

一、基础过关

1．下列说法正确的是(

) ①线性回归方程适用于一切样本和总体；

②线性回归方程一般都有时间性；

③样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围；

④根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．

A．①③④

C．①②

答案

B 2．某地财政收入x与支出y满足回归方程y＝x＋＋e(单位：亿元)，其中＝0.8，＝2，|e|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过(

) A．10亿

C．10.5亿

答案

C 解析

代入数据

＝10＋e，因为|e|<0.5，

所以| |<10.5，故不会超过10.5亿．

3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点1图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相2关系数为(

) A．－1

1C.

2答案

D 4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

x y 1.99

1.5

3

4.04

4

7.5

5.1

12

6.12 18.01 B．0 D．1

B．9亿

D．9.5亿

B．②③

D．③④

对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是(

) A．y＝2x－2

C．y＝log2x

答案

D 解析

可以代入检验，当x取相应的值时，所求y与已知y相差最小的便是拟合程度最高的．

5．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为________，残差平方和为________，相关指数为________．

答案

0

0

1 6．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a1B．y＝()x

21D．y＝(x2－1) 2的周围，令z＝ln y，求得线性回归方程为

＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为________．

答案

＝e0.25x－2.58

－2.58解析

∵

＝0.25x－2.58，z＝ln y，∴

＝e0.25x. 某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：

推销员编号

工作年限x/年

推销金额y/万元

1

3

2

2

5

3

3

6

3

4

7

4

5 9 5 (1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；

(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．

解

(1)设所求的线性回归方程为

＝

x＋

，

i＝1

xi－xyi－y

xi－x255则

＝i＝110＝＝0.5，

＝y－

x＝0.4. 20∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为

＝0.5x＋0.4. (2)当x＝11时，

＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．

∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．

二、能力提升

8．有下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；

②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．

其中正确命题的个数是(

) A．0

C．2

答案

D 解析

①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，R2的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．

9．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是(

) A．直线l1和l2有交点(s，t) B．1

D．3

B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t) C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行

D．直线l1和l2必定重合

答案

A 解析

由于回归直线一定过(x，y)，

∴直线l1和l2都过(s，t)点．

10．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了882对观测值，计算得：∑xi＝52，∑yi＝228，∑xi＝478，∑xiyi＝1 849，则i＝1i＝1i＝1i＝1888y与x的线性回归方程是________．

答案

＝11.47＋2.62x

11．某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：

x y (1)画出散点图；

(2)求y关于x的线性回归方程.

解

(1)散点图如图所示：

2

30

4

40

5

60

6

50

8 70

(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算. i xi(百万元)

yi(百万元)

xiyi

1

2

30

60

2

4

40

160

3

5

60

300

4

6

50

300

5 8 70 560

x＝5；y＝50；

52∑xi＝145；∑xiyi＝1 380 i＝1i＝155于是可得

＝i＝1∑xiyi－5x

yi12∑xi－5x＝52＝1 380－5×5×50＝6.5，

145－5×52

＝y－

x＝50－6.5×5＝17.5. 于是所求的线性回归方程是

＝6.5x＋17.5. 12.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份

需求量(万吨)

2002

236

2004

246

2006

257

2008

276

2010 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程

＝

x＋

；

(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2012年的粮食需求量．

解

(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据预处理如下：

年份－2006

需求量－257万吨

－4

－21

－2

－11

0

0

2

19

4 29 由预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2，

－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29

＝

42＋22＋22＋42260＝＝6.5，

40

＝y－

x＝3.2.由上述计算结果，知所求线性回归方程为

－257＝

(x－2 006)＋

＝6.5(x－2 006)＋3.2. 即

＝6.5(x－2 006)＋260.2. (2)利用所求得的线性回归方程，可预测2012年的粮食需求量为6.5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．

三、探究与拓展

13.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，xi2＝720. i＝1i＝1i＝1i＝110101010(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；

(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

1n80解

(1)由题意知n＝10，x＝xi＝＝8，

ni＝1101n20y＝yi＝＝2，

ni＝110

22又lxx＝x2i－n

x＝720－10×8＝80，

i＝1nlxy＝xiyi－n

x

y＝184－10×8×2＝24，

i＝1nlxy24由此得b＝＝＝0.3，

lxx80a＝y－b

x＝2－0.3×8＝－0.4，

故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4. (2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．

(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．