2.2.2 反证法新颖的课程导入教案

2.2直接证明与间接证明（教学设计）

2.

2 .2 反证法

仁寿第二中学 李利

教学目标：

知识与技能目标：

结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法目标: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观目标：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：了解反证法的思考过程、特点

教学难点：反证法的思考过程、特点

教学过程:

一、复习回顾：

1、综合法的特点是：

由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

2、分析法的特点是：执果索因，即寻找使结论成立的条件。

3、分析法的书写格式：

要证明命题B为真，

只需要证明命题B1为真，从而有……

这只需要证明命题B2为真，从而又有……

……

这只需要证明命题A为真

而已知A为真，故命题B必为真

二、创设情境、新课引入：

如果用直接证明的方法证明比较困难时，那我们就采用间接证明方法……反证法，

三、师生互动、新课讲解：

1、反证法

（1）定义：

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法

( reduction to absurdity ) .

（2）分类

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

（3）证明步骤：

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

（3）常用的反设（否定）（补集）

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

例1（课本P42例7）已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。

分析：

证明：

例2（课本P43例8）已知直线a,b和平面，如果a,b，且a||b，求证a||。

证明：因为a||b, 所以经过直线a , b 确定一个平面。

因为a，而a，

所以与是两个不同的平面．

因为b，且b，

所以

b.

1

下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点，则Pb，即点是直线 a 与b的公共点，这与a||b矛盾．所以

a||.

点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

推理模式：a,b,a//ba//．

例3、求证：2不是有理数

分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知m（m,n互质，

mZ,nN*”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．

nm证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数m,n，使得2，从而有m2n,

n22因此，m2n，

所以

m 为偶数．于是可设m2k

( k 是正整数），从而有

4k22n2，即

n22k2

所以n也为偶数．这与

m , n 互质矛盾！

由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．

正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与

1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。

例4、已知ab0，求证：nanb（nN且n1）

道，任一有理数都可以写成形如证明：假设na不大于nb，即nanb或nanb.

∵a＞0，b＞0

∴由nanb(na)n(nb)n

(注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?)

a＜b(推理利用了不等式的传递性).

又由nanbab

但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾.

∴nanb成立.

例5、设ab2，求证ab2.

证明：假设ab2，则有a2b，从而

33a3812b6b2b3,3322ab6b12b86(b1)2.33332因为6(b1)22，所以ab2，这与题设条件ab2矛盾，所以，原不等式ab2成立。

一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

课堂练习：（课本P43练习）

四、课堂小结、巩固反思：

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

2

五、布置作业：

A组：

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(

) ①结论相反判断，即假设

②原命题的条件

③公理、定理、定义等

④原结论

A．①②

C．①②③

B．①②④

D．②③

解析：应是①②③.故选C.

答案：C 2．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(

) A．假设至少有一个钝角

B．假设至少有两个钝角

C．假设没有一个钝角

D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

解析：至多有一个的否定是至少有两个，故选B.

答案：B 3. 用反证法证明命题“已知xR，ax21，b2x2，则a,b中至少有一个不小于0”反设正确的是 （ ）

A.假设a,b都不大于0 B.假设a,b至多有一个大于0 C.假设a,b都大于0 D.假设a,b都小于0 D 解析：反证法的应用是假设结论不成立，因此要设为“假设a,b都小于0. 4．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．

解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．

答案：a，b不全为0 5．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．

解析：“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．

答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

B组：

1、（课本P44习题2.2 A组 NO：3）

2、求证3是无理数.

（提示：有理数可表示为m/n）

证：假设3是有理数，则不妨设3m/n（m,n为互质正整数），

从而：(m/n)23，m23n2，可见m是3的倍数. 设m=3p（p是正整数），则

3n2m29p2，可见n

也是3的倍数. 这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. ∴3m/n不可能，∴3是无理数. 3、若x, y > 0，且x + y >2，则1y1x和中至少有一个小于2

xy1y1x反证法：设≥2，≥2

∵x, y > 0，可得x + y

≤2

与x + y >2矛盾。

xy4．已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

证：设a < 0,

∵abc > 0,

∴bc < 0 又由a + b + c > 0,

则b + c = a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0

与题设矛盾

又：若a = 0，则与abc > 0矛盾，

∴必有a > 0

同理可证：b > 0,

c > 0

2017-4-25

3