小结优秀教学设计内容

选修1-2 第一章小结教学设计

一、教材分析和处理

1．本节内容在教材中的地位和作用

本节是新课标人教版高中数学课本选修2-3第三章《统计案例》中P79-P91的内容，是在学习了用样本估记总体、线性回归等基本知识的基础上，进一步讨论线性回归方法及其应用，并初步了解独立性检验的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。本节内容在近几年的高考试题中是屡见不鲜的，是高考中的热点之一。

2．教学目标

知识目标：(1)理解线性回归分析方法及应用；

(2)理解独立性检验的基本思想及应用。

能力目标：(3)培养学生分析问题、解决问题的能力；相互探讨、合作交流、共同提高、团结协作的能力。

3．学情分析

这节课是在学生对回归分析、独立性检验的基本思想有了初步的了解，对课本基础概念有了感性认识的基础上进行巩固加深的。要想深刻理解，灵活运用，需要进行全面复习。根据《新课标》的要求，以学生为主体，充分调动学生在课堂上的积极性，运用多媒体，加大直观性和容量，提高学习效率。

二、教法

本课教法以启发式教学法和合作探究法为主，因为在教学中要突出学生的主体地位，培养学生的自主意识和合作意识为根本，整个过程师生互动，学生为主体，教师为主导，共同参与；教师启发、引导、巡查、点拔，充分调动学生的积极性，教学过程采用多媒体展示、多黑板演示，多学生讲解，将教师提供的习题分组完成，重点强化，难点突破，营造活跃的课堂气氛，使课堂成为学生展示的舞台，成功表现自我；各小组成员分工协作，积极动手实践，学习热情高涨，合作探究意识明显增强，打造高效课堂。

三、学法

新课程理念是“以学生的发展为核心”，在学习过程中始终让他们自主学习，

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成为学习的主人，将全班学生分成六个小组各自下达学习任务，既明确分工，又互相合作；完成任务，积极演示，全班互动，共同提高。组内由组长引领，组员互学，互相借鉴，成果共享。

四、教学过程

知识梳理

（一）回归分析

１．回归直线：

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。

求回归直线方程的一般步骤：

①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数

→③写出回归直线方程

，并利用回归直线方程进行预测说明. 2.回归分析：

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

建立回归模型的基本步骤是：

①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；

②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.

③由经验确定回归方程的类型.

④按一定规则估计回归方程中的参数

（最小二乘法）；

⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等. 3.利用统计方法解决实际问题的基本步骤：

（1）提出问题；

（2）收集数据；

（3）分析整理数据；

（4）进行预测或决策。

2

4.残差变量

的主要来源：

（1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述

与

之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。这种由于模型近似所引起的误差包含在

中。

（2）忽略了某些因素的影响。影响变量

的因素不只变量

一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在

中。

（3）观测误差。由于测量工具等原因，得到的

的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在

中。

上面三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。

（二）独立性检验

1.独立性检验

利用随机变量

来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。

2.判断结论成立的可能性的步骤：

（1）通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。

（2）可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。

题型讲解

题型一

求回归直线方程

例1：研究某灌溉渠道水的流速

与水深

之间的关系，测得一组数据如下：

3

水深流速 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 （1）求

对

的回归直线方程；

（2）预测水深为1.95

时水的流速是多少？

分析：本题考查如何求回归直线的方程，可先把有关数据用散点图表示出来，若这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，说明这两个变量线性相关，从而可利用我们学过的最小二乘估计思想及计算公式求得线性回归直线方程。

解：1）由于问题中要求根据水深预报水的流速，因此选取水深为解释变量，流速为预报变量，作散点图：

由图容易看出，

与

之间有近似的线性关系，或者说，可以用一个回归直线方程

来反映这种关系。

由计算器求得

对

的回归直线方程为

。

。

代入，易得

（2）由（1）中求出的回归直线方程，把

计算结果表示，当水深为

评注：

。

时可以预测渠水的流速为

。

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建立回归模型的一般步骤：

（1）确定研究对象，明确两个变量即解释变量和预报变量；

（2）画出散点图，观察它们之间的关系；

（3）由经验确定回归方程类型（若呈线性关系，选用线性回归方程）；

（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；

（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差出现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。

题型二 独立性检验

例2．甲乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：

班级与成绩列联表

甲班

乙班

总计

优秀

10 7 17 不优秀

35 38 73 总计

45 45 90

画出列联表的条形图，并通过图形判断成绩与班级是否有关；利用列联表的独立性检验估计，认为“成绩与班级有关系”犯错误的概率是多少。

解：列联表的条形图如图所示：

5

由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”；由表中数据计算得K2的观察值为k≈0.653>0.455。

由下表中数据

P（K2≥k）

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 得：P(K2≥0.455)≈0.50，

从而有50%的把握认为“成绩与班级有关系”，即断言“成绩优秀与班级有关系”犯错误的概率为0.5。

评注：（1）画出条形图后，从图形上判断两个分类变量之间是否有关系。这里通过图形的直观感觉的结果可能会出错。

（2）计算得到K2的观测值比较小，所以没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”。这与反证法也有类似的地方，在使用反证法证明结论时，假设结论不成立的条件下如果没有推出矛盾，并不能说明结论成立也不能说明结论不成立。在独立性检验中，在假设“成绩优秀与班级没有关系”的情况下，计算得到的K2的值比较小，且P(K2≥0.653)≈0.42，说明事件(K2≥0.653)不是一个小概率事件，这个事件的发生不足以说明“成绩优秀与班级没有关系”，即没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”。这里没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾。

自我检测题

1.对具有相关关系的两个变量统计分析的一种常用的方法是（

）

A．回归分析

B.相关系数分析

C.残差分析

D.相关指数分析

2.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（

）

A．预报变量在

轴上，解释变量在

轴上

B.解释变量在

轴上，预报变量在

轴上

C.可以选择两个变量中任意一个变量在

轴上

D.可以选择两个变量中任意一个变量在

轴上

3.两个变量相关性越强，相关系数

（

）

A．越接近于0

B.越接近于1

C.越接近于－1

D.绝对值越接近1

4.若散点图中所有样本点都在一条直线上，解释变量与预报变量的相关系数为（

）

A．0

B.1

C.－1

D.－1或1

5.一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表：

年龄（岁）

3 4 5 6 7 8 9

6

身高（

94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.0

由此她建立了身高与年龄的回归模型

，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是（

）

A.她儿子10岁时的身高一定是145.83

B.她儿子10岁时的身高在145.83

以上

C.她儿子10岁时的身高在145.83

左右 D.她儿子10岁时的身高在145.83

以下

6.两个变量有线性相关关系且正相关，则回归直线方程中，

（

）

A.

B.

C.

D.

的系数

7.两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于0，则（

）

A.样本点都在回归直线上

B.样本点都集中在回归直线附近

C.样本点比较分散

D.不存在规律

8.在建立两个变量

与它们的相关指数

的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，

如下，其中拟合最好的模型是（

）

为0.98

B.模型2的相关指数

为0.50

D.模型4的相关指数

为0.80

为0.25

A.模型1的相关指数

C.模型3的相关指数

9.相关指数

＝

。

10.某农场对单位面积化肥用量计，得到数据如下：

如果

与

之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为

时水稻的产量大约是多少？（精确到

）

15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

和水稻相应产量

的关系作了统

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11．在一次独立性检验中，其把握性超过了99%，则随机变量

的可能值为（

）

A．6.635

B．5.024

C．7.897

D．3.841 12．把两个分类变量的频数列出，称为（

）A．三维柱形图

B．二维条形图

C．列联表

D．独立性检验

13．由列联表

合计

则随机变量

43 13 56

162 121 283 合计

205 134 339

的值为

。

14．某大学希望研究性别与职称之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？

15．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了该选修课的一些学生情况，具体数据如下表：

男

女

为了检验主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到

非统计专业

13 7 统计专业

10 20

因为

。

，所以断定主修统计专业与性别有关系。这种判断出错的可能性为

。

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