学习总结报告教学创新设计

专题七

选修4系列

第2讲

不等式选讲（选修4-5）

课时规范练

1．(1)(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8. aa(2)设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证|2x＋y－4|＜a. 33证明：(1)因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，

且(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，

所以(ac＋bd)2≤4×16＝64，故ac＋bd≤8.

aa(2)因为|x－1|＜，|y－2|＜，

33aa所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝33a.故原不等式得证．

2．(2017·郴州三模)在平面直角坐标系中，定义点P(x1，y1)、Q(x2，y2)之间的“直角距离”为L(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，已知点A(x，1)、B(1，2)、C(5，2)三点．

(1)若L(A，B)＞L(A，C)，求x的取值范围；

(2)当x∈R时，不等式L(A，B)≤t＋L(A，C)恒成立，求t的最小值．

解：(1)由定义得|x－1|＋1＞|x－5|＋1，

则|x－1|＞|x－5|，两边平方得8x＞24，解得x＞3.

(2)当x∈R时，不等式|x－1|≤|x－5|＋t恒成立，也就是t≥|x－1|－|x－5|恒成立，

因为|x－1|－|x－5|≤|(x－1)－(x－5)|＝4，

所以t≥4，tmin＝4.

故t的最小值为4. 3．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.

解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.

1当x＝时等号成立，

2所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①

当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．

当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.

所以a的取值范围是[2，＋∞)．

114．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x－2＋x＋2，M为不等式f(x)＜2的解集．

(导学号

54850140) (1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.

11(1)解：f(x)＝1，－2＜x＜2，

2x，x≥1.21当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，

21解得x＞－1，所以－1＜x≤－；

211当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立．

221当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，

2[来源:学科网]1－2x，x≤－，21解得x＜1，所以≤x＜1.

2所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．

(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1.

从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b)2＜0，

所以(a＋b)2＜(1＋ab)2，

因此|a＋b|＜|1＋ab|. 5．(2017·池州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．

解：(1)函数f(x)＝|2x－a|＋a，

6－a≥0，由f(x)≤6，可得

a－6≤2x－a≤6－a，解得a－3≤x≤3.

又不等式的解集为{x|－2≤x≤3}，

可得a－3＝－2，所以实数a＝1.

(2)在(1)的条件下，f(x)＝|2x－1|＋1，[来源:学_科_网]

所以f(n)＝|2n－1|＋1，存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，即f(n)＋f(－n)≤m，即|2n－1|＋|2n＋1|＋2≤m.

由于|2n－1|＋|2n＋1|≥|(2n－1)－(2n＋1)|＝2，

所以|2n－1|＋|2n＋1|的最小值为2，所以m≥4，

故实数m的取值范围是[4，＋∞)．

6．(2017·郑州质检)已知a＞0，b＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|的最小值为4. (1)求a＋b的值；

1212(2)求a＋b的最小值．

49解：(1)因为|x＋a|＋|x－b|≥|a＋b|，

所以f(x)≥|a＋b|，当且仅当(x＋a)(x－b)＜0时，等号成立，

又a＞0，b＞0，

所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b，

所以a＋b＝4.

(2)由(1)知a＋b＝4，b＝4－a，

12121211328162a＋b＝a＋(4－a)＝a－a＋＝

494936991316216a－＋，

3613131636121216当且仅当a＝，b＝时，a＋b的最小值为. 131349137．(2017·乐山二模)已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，若存在实数x使得f(x)＜2成立．

(1)求实数m的值；[来源:学科网ZXXK]

419(2)若α，β＞1，f(α)＋f(β)＝6，求证：＋≥. αβ4(1)解：因为|x－m|＋|x|≥|x－m－x|＝|m|，

所以要使|x－m|＋|x|＜2有解，

则|m|＜2，解得－2＜m＜2.

因为m∈N*，所以m＝1.

(2)证明：α，β＞1，f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝6，

所以α＋β＝4，

14114βα1所以＋≥α＋β(α＋β)＝5＋α＋β≥5＋2 44αβ4419，

44βα·＝αβα84当且仅当＝，即α＝，β＝时“＝”成立，

33αβ故44βα＋9≥.β41[来源:Zxxk.Com]

8．(2017·新乡三模)已知不等式|x－m|＜|x|的解集为(1，＋∞)．(导学号

54850141)

[来源:学*科*网](1)求实数m的值；

a－51ma＋2(2)若不等式

＜1＋x－1－x＜对x∈(0，＋∞)恒成xx立，求实数a的取值范围．

解：(1)由|x－m|＜|x|，得|x－m|2＜|x|2，

即2mx＞m2，

又不等式|x－m|＜|x|的解集为(1，＋∞)，

则1是方程2mx＝m2的解，解得m＝2(m＝0舍去)．

a－51ma＋2(2)因为m＝2，所以不等式＜1＋x－1－x＜对xx

x∈(0，＋∞)恒成立等价于不等式a－5＜|x＋1|－|x－2|＜a＋2对x∈(0，＋∞)恒成立．

2x－1，0＜x＜2，设f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝

3，x≥2，当0＜x＜2时，f(x)是增函数，－1＜f(x)＜3，

当x≥2时，f(x)＝3.

因此函数f(x)的值域为(－1，3]．

a－5≤－1，从而原不等式等价于解得1＜a≤4.

a＋2＞3.所以实数a的取值范围是(1，4]．