2.基本不等式教学设计思路

课题名称

基本不等式

1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值. 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式三维目标

求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.

重点：基本不等式在解决最值问题中的应用. 重点目标

难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值.

基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三学情分析与学法指导：

相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.

学做思一：

自学探究 22问题1. 如果a,bR, 那么ab2ab.（

当且仅当ab时, 等号成立）. 你能从几何的角度解释这个结论吗？

学做思二

问题2.如果a,bR, 那么目标三导

abab（当且仅当ab时, 等号成立）. 2

你能从几何的角度解释这个结论吗？

★问题3.重要不等式和基本不等式在应用时要注意哪些方面？

1

教学过程：

一、基础梳理

ab基本不等式：如果a,b是正数，那么2 ab（当且仅当a b时取""号

）代数背景：如果ab

2ab（a,bR,当且仅当a b时取""号

）（用代换思想得到22基本不等式）

几何背景：半径不小于半弦。

常见变形：

a2b22 （1）ab aba2b22

2（2） ba（3）ab 2（a，b同号且不为0）

3、算术平均数与几何平均数

如果a、b是正数，我们称 为a、b的算术平均数，称

的a、b几何平均数. 4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）

问题：[来源:学科网]2

（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式：

已知x，y都大于0则[来源:学科网]

（1）“积定和最小”：如果积xy是定值P,那么当 时，和x+y有最小值 ；

（2）“和定积最大”：如果和x+y是定值S,那么当

时，积xy有最大值 .

学做思三

技能提炼

★

1.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求ab

2 1的最小值. ab

22abab 2.设a,bR，求证：(1) 

;

222(2) a2b2c2abbcac．

3.

(1) 设x0,y0且x2y1，求的最小值.

;

(2) 设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是____________________ ;

1x1y

(3) 若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是

．

课堂探究

1、答疑解惑

方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。

2、典例分析[来源:学_科_网Z_X_X_K]

例1、设0x2,求函数yx(42x)的最大值. 4的最值.

lgx例2、设x1,求函数y3lgx变式1：将条件改为0x1

变式2：去掉条件x1

变式3：将条件改为x1000

例3、若正数a,b满足abab3,则ab的取值范围是 . 变式：求ab的取值范围. 例4、已知x0,y0,且x2y1,求21的最小值. xy变式：已知x0,y0,且

211,若x2ym22m恒成立，求实数m的取值范围

xy

3

变式反馈

1.（1）设0x3，求函数yx(32x)的最大值. 2ab（2）设a,bR，且ab3，则22的最小值是 . （3）求4+a的取值范围.①aR

②a5

a-2（4）已知x,y,a,bR，ab10,且2ab1,xy的最小值是18，求a,b. xy（5）（自选）已知ab0,则a

16的最小值是 . b(ab)（6）一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有45cm

的面

积，问应如何设计十字型宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上

的铜线最节省．

2222.（1）已知a,b是正常数,ab,x,y(0,)，求证：ab(ab),指出等号成xyxy2达标检测

立的条件；

（2）利用（1）的结论求函数f(x)2的值．

4 19（x(0,)）的最小值，指出取最小值时x2x12x

运用基本不等式应注意的问题：①a,b必须是 数； ②积ab是 值，和ab才有最 值，和ab是 值，积ab才有最 值；

③当且仅当 时，等号成立. 即：“ 、 、 ”. 利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下应 求解最值. 易错反思： . 本节课你还有哪些疑问？

[来源:学科网]

反思总结

1.知识建构

2.能力提高

3.课堂体验

同步练习

课后练习

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