阅读与思考 法国科学家柯西优质课教学设计

柯西不等式

教学目标:

1．掌握二维柯西不等式的代数形式、向量形式和三角不等式．

2．掌握柯西不等式的一般形式．

3．能利用柯西不等式解决不等式证明和最值问题．

教学重点: 理解并掌握柯西不等式及其推广形式．

教学难点:

柯西不等式在证明不等式和求最值中的应用．

教学过程:

一、课堂探究

探究1：证明不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2

分析一：比较法证明；

分析二：分析法证明．

设计意图：通过课前自主预习，复习回顾不等式的证明方法，让学生初步认识柯西不等式的代数形式.

定理1 柯西不等式：

若a，b，c，d为实数，则

(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2

，当且仅当

ad＝bc 时，等号成立．

ac问题1：在柯西不等式中，取等号的条件可以写成＝吗？

bdac分析：不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．

bd设计意图：体会柯西不等式的广泛性和一般性.

探究2：（1）已知a2b21，x2y21，求证：axby≤1．

分析：直接使用柯西不等式证明．

设计意图：熟悉柯西不等式的结构特征及简单应用.

（2）设在平面直角坐标系xOy中有向量(a,b),(c,d)，|α||β|与|α·β|的大小关系如何.

设计意图：找到柯西不等式的几何意义.

定理2 柯西不等式的向量形式：

设α，β为平面上的两个向量，则

|α||β|≥|α·β| ，当且仅当

α和β共线(平行)

时，等号成立.

探究3：设a,b,c,dR，求证：a2b2c2d2≥(ac)2(bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．

分析：两边平方后用分析法证明

设计意图：进一步体会柯西不等式的应用，为引入三角形不等式做铺垫.

1

定理3 三角形不等式：

设x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，那么

（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.

问题2：三角形不等式的几何意义是什么？

分析：三角形的两边之和大于第三边，等号成立时三点共线．

探究4：柯西不等式能否推广到n个元素的一般形式．

定理4 柯西不等式的一般形式：

设n为大于1的自然数，ai,bi（i1,2,,n）为实数，则

222222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，

等号当且仅当

二、例题选讲

b1a1b2a2bnan时成立（当ai0时，约定bi0，i1,2,,n）. 例题1．（1）已知a,b为实数，证明(a4（2）已知x,yRb)(a1x42b)1y2≥(a3b)32．

，xy2，求证：≥2. 设计意图：熟悉柯西不等式在证明不等式中的应用.

（1）分析：根据形式直接使用柯西不等式．

证明：由柯西不等式得

(a4b)(a42b)[(a)222(b)](a222b)2≥(a2ab2b)2(a3b)32

（2）分析：将1x1y与xy相乘，再利用柯西不等式．

证明：

1x1y12(1x1y)(xy)≥12(1xx1yy)22

例题2．（1）已知x（2）求函数y32y1，求xx542y2的最小值. 6x的最大值. 设计意图：熟悉柯西不等式在求最值中的应用. （1）分析：由题意配凑出柯西不等式的形式．

证明：由柯西不等式得(x所以x22y)(12)x1y2222≥(x152y)2521

2y2≥15.当且仅当，即x,y时，xy2取最小值15. （2）分析：由柯西不等式配凑出常数．

2

证明：由柯西不等式得3所以3x54x546x2≤3242x526x225

6x≤5

，即x13425当且仅当3

6x4x5时，函数y3x546x取最大值5. 例题3．（1）若a,b,c为正数，且a（2）已知a2b3c4d5bc1，求证：1a1b1c≥9. ，求a2b2c2d2的最小值.

设计意图：熟悉柯西不等式一般形式在不等式的证明与求最值中的应用.

（1）分析：将1a1b1c1a1b1c2与abc相乘，再利用柯西不等式的一般形式．

c111证明：由柯西不等式得abc≥bcaab9

又因为abc1，所以1a1b1c≥9. （2）分析：根据柯西不等式的一般形式的结构特点，配凑出柯西不等式. 证明：由柯西不等式得

a2b22c22d22122223242≥a2b3c4d225

所以aba1cb2dc3≥d456

16,b13,c12,d23当且仅当，即a时，a2b2c2d2取最小值56.

三、课堂小结

1．二维柯西不等式的代数形式，向量形式，三角形式的结构特征．

2．应用柯西不等式证明不等式和求最值时注意等号成立的条件．

3．使用柯西不等式时的转化与化归思想．

四、当堂检测

1．设a,bR，ab1，求证11a1b≥4. ≥1a1b2证明：由柯西不等式得111ababbaab4

2．已知a2b21，求证acosbsin2≤1. 2证明：由柯西不等式得所以

acosbsinacosbsin1

≤ab2cos2sin21

1≤3

3．设a,b为正数，求(a11b)(2b112a)的最小值. a12)≥解：由柯西不等式得(a)(2bb2a12a1b22b92

92当且仅当4．已知3xa2b1b12a，即ab2时，(a1b)(2b12a)取最小值.

2y1，求x2yy的最小值.

22解：由柯西不等式得x2所以x2y2232≥3x2y21

≥113

，即x313,y213当且仅当2x3y时，x2y2取最小值113.

五、课后作业

1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是(

) A．[－25，25]

C．[－10，10]

解析：∵a2＋b2＝10，

∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2，

即20≥(a＋b)2，

∴－25≤a＋b≤25. 答案：A 2．已知x，y∈R，且xy＝1，则(1A．4

C．1

解析：(1答案：A 3．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋5y的最大值是(

) A.2

C．3

B．1 D．9 1x＋

B．[－210，210] D．(－5，5]

1x)(11y)的最小值为(

)

)(1

1y)

≥(1

1xy

)2

B．2 1D．

4＝4，故选A. 解析：∵2x＋5y＝2x·1＋5y·1≤4x2＋5y2·12＋12＝1·2＝2. ∴2x＋5y的最大值为2.

4

答案：A 4．设a1，a2，…，an为实数，P＝小关系为(

) A．P>Q

C．P

B．P≥Q

D．不确定

22a2a1＋a2＋…＋an1＋a2＋…＋an，Q＝，则P与Q的大nn解析：由柯西不等式知

22(a21＋a2＋…＋an)121·1＋1＋n个＋1

2≥a1＋a2＋…＋an，

∴

即得

答案：B 5．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝ab＋cd，Q＝ma＋nc·的大小________．

解析：由柯西不等式，得

P＝＝Q. 答案：P≤Q 6．函数f(x)＝x－6＋12－x的最大值为________．

解析：由柯西不等式得

(x－6＋12－x)2≤(12＋12)·[(x－6)2＋(12－x)2]＝12，

∴x－6＋12－x≤23(当x＝9时，“＝”成立)．

答案：23 7．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则

m2＋n2的最小值为________．

bam·＋mdnc×≤am2＋nc2×nbd＋，则P与Qmn22a21＋a2＋…＋an·n≥a1＋a2＋…＋an. 22a2a1＋a2＋…＋an1＋a2＋…＋an≥，∴P≥Q. nnb2＋md2＝am＋nc×

nbd＋mnmn解析：由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，当且仅当＝时等号成ab立，∴m2＋n2≥5，∴所求最小值为5. 答案：5 8．函数y＝2cos x＋31－cos 2x的最大值为________．

解析：y＝2cos x＋31－cos 2x＝2cos x＋32sin2x≤cos2x＋sin2x[22＋322]＝22.

5

当且仅当cos x232，即tan x＝±时，函数有最大值22. 2＝2sinx32答案：22 1499．已知x，y，z均为正实数，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________．

xyz解析：利用柯西不等式．

149由于(x＋y＋z)x＋y＋z≥

x·1＋y·2＋xy

3z·2＝36，

z149所以＋＋≥36. xyz11111149当且仅当x2＝y2＝z2，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．∴＋＋的最小值为36. 49632xyz答案：36 10．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．

解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.

答案：12 11．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y＋z＝________. 解析：根据柯西不等式可得，(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14，所以要取到等号，xyz314必须满足＝＝，结合x＋2y＋3z＝14，可得x＋y＋z＝. 1237314答案：

712．已知实数a、b、c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1. 2求证：－≤c≤1. 3证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，

所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. 由柯西不等式得：

(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，

5(1－c2)≥(1－c)2，

整理得，3c2－c－2≤0，

22解得－≤c≤1.∴－≤c≤1. 3313．已知x，y，z∈R，且x－2y－3z＝4，求x2＋y2＋z2的最小值．

6

解：由柯西不等式，得

[x＋(－2)y＋(－3)z]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x2＋y2＋z2)，

即(x－2y－3z)2≤14(x2＋y2＋z2)，

即16≤14(x2＋y2＋z2)．

8yz246所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即当x＝，y＝－，z＝－时，x2＋y2＋z2的7777－2－38最小值为. 714．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求a的最值．

解：由柯西不等式，有

111＋＋≥(b＋c＋d)2，

(2b2＋3c2＋6d2)236即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，

由条件可得，5－a2≥(3－a)2，

解得1≤a≤2，当且仅当2b3c6d＝＝时等号成立，

111236111代入b＝，c＝，d＝时，amax＝2，

23621代入b＝1，c＝，d＝时，amin＝1. 3315．设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6 的最大值．

解：

根据柯西不等式

120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥(1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)2，

故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230. 当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，

372822即x＝，y＝，z＝时等号成立，

6915此时umax＝230.

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