1.不等式的基本性质名师教学设计1

3．4基本不等式教案（第一课时）

高二5班 李子荣

一、知识与技能

1.探索并了解基本不等式的证明过程；

2.了解基本不等式的代数及几何背景；

3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

二、过程与方法

通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。

三、情感态度与价值观

通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；

2.基本不等式成立的条件及应用。

教学难点：基本不等式成立的条件及应用

。

教具准备：

多媒体

教学过程

教师活动

探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？

若a,b0，则a2b22ab．

思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？

2、以上结论能否推广到任意实数a,b? 22总结：重要不等式：一般地，对于任意实数

a、b，我们有ab2ab，当且仅当ab时，等号成立。

你能给出证明吗？

思考二：如果用a,b去替换ab2ab中的a,b能得到什么结论？

引导：为什么可以替换？a,b要满足什么条件？

结论：ab2ab

(a0,b0)，当且仅当ab时取等号.

你能给出证明吗？

数展示课题内容

形重要不等式：若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

结aba,b0基本不等式：若，则（当且仅当ab时，等号成立）

ab合

2

深化认识：

深ab为a,b的算术平均数.所以基本不等式化代数意义：称ab为a,b的几何平均数；称2认ab识

ab的代数意义是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. 2探究二：基本不等式的几何背景

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb．过点C作垂直于AB的D 弦DE，连接AD,BD．

引导学生发现：22

创设情境

揭示课题

设计意图

从实际问题出发，激发学生学习兴趣，从而在感性上认识基本不等式

从不同角度归纳基本不等式，加深对基本不等式的理解。渗透数形结合的数学思想。

ab表示圆的半经，

2ab

(a0,b0)

2ab表示半弦长CD, 得到不等关系：abA O C E B

初步应用

ab的几何意义是：半弦长不大于半径长. 2例1(1)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

(2) 用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

基本不等式abs2总结：x,y0，若xys（定值），则当且仅当xy时，xy有最大值．

4，则当且仅当x=y时，xy有最小值2p；

x,y0若xyp（定值）口诀：“一正、二定、三相等”

总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化

学生讨论，进一步理解利用基本不等式求最值的条件“正”、“定”和“等” 辨析质疑，深化认识

1例2.fxx（x>0）的最小值。

x

例3判断下列能否用基本不等式求最值（小组讨论）

1的最小值为2. （）

x1(0x)的最小值为2（）

2、

fxsinxsinx2123、

yx(x0)的最小值是2（）

x1、

fx=x引导学生领会运用基本不等式abab的三个限制条件：“一正、二定、三相等”

2通过师生共同反思，优化学生的认知结构

归纳小结，反思提高

（1）若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

ab若a,b0，则ab（当且仅当ab时，等号成立）

2（2）运用基本不等式解决简单最大（小）值问题的基本方法．

对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当ab时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当ab时，xy有最大值．

4（把握

“六字方针”，即

“一正、二定、三等”）

（3）数学思想：基本不等式的探究过程（从特殊到一般）；

基本不等式的几何解释（数形结合）. 课课

1、求下列函数的最值（利用基本不等式求最值）

堂堂练练1yx(x0)的最小值（难度★） （1）习

习

x （2）若x+y=10，则xy的最大值（难度★） 2 .已知直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？

课堂练习:

1.求下列函数的最值（利用基本不等式求最值）

（1）yx1(x0)的最小值（难度★）

x

（2）若x+y=10，则xy的最大值（难度★）

2.已知直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？（利用基本不等式求最值；难度★★）

3.下列函数的最小值为22的是：（一正二定三相等；难度★★★）

A．yx22 B．ysinx,x0,

xsinx2x-x C．

ye2e

,

D．

ylgx2,x0,

lgx