2.基本不等式新颖的课程导入教案

§3.4基本不等式ab一、设置目标

1、教学目标

ab2（2课时）

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2、目标解析

22是指：当a∈R,b∈R ，则ab2ab特别的，如果a0，b0，我们用a、b分别代替a、b，可得ab2ab，通常我们把上式写作：ab二

达成目标

问题一：怎么理解abab2 ab(a>0,b>0)

2设计意图：掌握均值不等式，帮助学生理解公式的推导过程

师生活动1：重要不等式：对于任意实数a,b，有a2b2____2ab，当且仅当 时，等号成立. 师生活动2：基本不等式：设a,b(0,)，则不等式取等号. 探究1：基本不等式abab的几何背景：

2ab_____ab，当且仅当 时，2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

将图中的“风车”抽象成如图，

设计意图：了解基本不等式的几何背景及利用几何图形推导基本不等式的过程。

师生活动1：在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，

我们就得到了一个不等式：a2b22ab. 师生活动2：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 结论：一般的，如果a,bR，我们有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立. 特别的，如果a0，b0，我们用a、b分别代替a、b，可得ab2ab，

通常我们把上式写作：abab(a>0,b>0)

2ab

2[来源:学§科§网Z§X§X§K]问题二：怎样证明基本不等式ab设计意图：让学生了解基本不等式的推导过程，体现数学定理的严密性。用分析法证明：证明：要证 [来源:学科网ZXXK]

abab (1) 2只要证 ab (2) 要证（2），只要证ab____0 （3）

要证（3），只

要证(__________)20

（4） 显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立. 问题三、基本不等式abab的几何意义是什么？

2设计意图：教师引导学生完成课本98页的“探究”，从而理解基本不等式的几何意义。

师生活动：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式ab结论：基本不等式ab例题学习

例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 例2

某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为4800m3,深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

ab的几何解释吗？

2ab几何意义是“半径不小于半弦”

2

设计意图：以极值问题为例，让学生体会基本不等式在生活中的应用。

变式训练：

1、x0时，当x取什么值时，x

2、已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？

本课小结：

1、均值不等式有何用处？

2、在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三取等号. 三、反馈目标

1. 已知x0，若x＋81的值最小，则x为（ ）. x1的值最小？最小值是多少？

xA． 81 B． 9 C． 3 D．16 2. 若0a1，0b1且ab，则ab、2ab、2ab、a2b2中最大的一个是（ ）. A．ab B．2ab C．2ab D．a2b2

3. 若实数a，b，满足ab2，则3a3b的最小值是（ ）. A．18 B．6 C．23 D．32

4. 已知x≠0，当x=_____时，x＋281的值最小，最小值是________. x25. 做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，

用纸最少. 四、配餐作业

A组

1、

已知x51，则函数y4x2的最大值是（ ）. 44x51

2A．2 B．3 C．1 D．2、

若x,yR，且xy1，则A．(2,) B．[2,)

C．(4,) D．[4,)

11的取值范围是（ ）. xy143、

若x,yR，则(xy)()的最小值为 . xy4、

已知x3，则f(x)x1的最小值为 . x3B组

5、已知x0,y0，满足x2y1，求

6、若x0，y0

，且

C组

7、（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

[来源:Z*xx*k.Com]11的最小值（注意“1”妙用）

xy281，求xy的最小值

xy[来源:学.科.网]

[来源:Zxxk.Com]

8、求f(x)4x

9(x>5)的最小值.

x5