二 一般形式的柯西不等式教学设计(第二课时)

3.2 一般形式的柯西不等式

一、教学目标

1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．

2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．

2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．

四、教学难点

1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．[来源学科网]

2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．

五、教学过程

（一）导入新课

已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．

【解】

由柯西不等式得

(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1，

1∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥. 311111当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为. 33633（二）讲授新课

教材整理1

三维形式的柯西不等式

2222设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a2(b21＋a2＋a3)·1＋b2＋b3)≥

.当且仅当

或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．

教材整理2

一般形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则

22222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥

.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝

(i＝1,2，…，n)时，等号成立．

（三）重难点精讲

题型一、利用柯西不等式求最值

123例1

已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，abcb，c的值．[来源学。科。网Z。X。X。K]

123【精彩点拨】

由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不abc等式求解．

【自主解答】

∵a，b，c∈(0，＋∞)，

2123＋＋·∴(a＋2b＋3c)＝[abc≥1·a＋a2·2b＋b1＋a222＋b23][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] c3·3c

c＝(1＋2＋3)2＝36. 123又＋＋＝2，

abc∴a＋2b＋3c≥18，

当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，

综上，当a＝b＝c＝3时，

a＋2b＋3c取得最小值18. 规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．

[再练一题] 1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．

【解】

由柯西不等式，知

(x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2) ＝98(x2＋y2＋z2)．

又x＋4y＋9z＝1，

1∴x2＋y2＋z2≥，(*) 98yz当且仅当x＝＝时，等号成立，

49129∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．

9849981因此，x2＋y2＋z2的最小值为. 98题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围

例2已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式的取值范围．

111＋＋≤λ恒成立，求λx＋yy＋zz＋x111【精彩点拨】

“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求x＋yy＋zz＋x最值．

【自主解答】

∵x>0，y>0，z>0. 且x＋y＋z＝xyz. 111∴＋＋＝1. yzxzxy又111＋＋

x＋yy＋zz＋x1111＋＋≤

2xyyzzx1111＝1·＋1·＋1·

2xyyzzx≤错误!错误!＝错误!，

当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝3时等号成立．

∴故1113＋＋的最大值为. 2x＋yy＋zz＋x111＋＋≤λ恒成立时，

x＋yy＋zz＋x3. 23，＋∞. 212应有λ≥因此λ的取值范围是规律总结：

应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．

[再练一题] 2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围. 【解】

由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，

由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，

1112(2b2＋3c2＋6d2)2＋3＋6≥(b＋c＋d)，

即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，

所以实数a的取值范围是[1,2]．

题型三、利用柯西不等式证明不等式

abcbca例3

已知a，b，c∈R＋，求证：b＋c＋aa＋b＋c≥9.

【精彩点拨】

对应三维形式的柯西不等式，a1＝b2＝c，b3＝ba，a＝b2b，a＝c3c，b＝a1b，aa，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．

c【自主解答】

∵a，b，c∈R＋，

由柯西不等式，知

22b＋c2≥a

c2c]×[a2b＋a2c＋b2a] ca＋b＋cb＋c＋a＝[bcaabca×bb＋ab×cc＋ba＋bc×a＝(1＋1＋1)2＝9，

abcbca∴b＋c＋aa＋b＋c≥9.

规律总结：

1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2. 2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．

[再练一题] 3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．

(1)求m的值；

111＋(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.

a2b3c【解】

(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．

又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1. 111(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2ba2b3c

2111111＋＋≥a·＋2b·＋3c·＝9. ＋3c)a2b3ca2b3c（四）归纳小结

一般形式的柯西不等式——一般形式—一般形式的应用—三维形式（五）随堂检测

1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为(

) A．18

B．6

C．－18

D.12 【解析】

|a·b|≤|a||b|，

∴|a·b|≤18.

∴－18≤a·b≤18，当a，b反向时，a·b最小，最小值为－18. 【答案】

C 222222．若a21＋a2＋…＋an＝1，b1＋b2＋…＋bn＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是(

) A．(－∞，2)

B．[－2,2]

C．(－∞，2]

D.[－1,1] 222222【解析】

∵(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，

∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，

∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2，

即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，

1当且仅当ai＝bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；

21当且仅当ai＝－bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选B. 2【答案】

B 3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则

m2＋n2的最小值为________．

【解析】

根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5. 【答案】

5[来源学+科+网][来源:Zxxk.Com]

六、板书设计

3.2 一般形式的柯西不等式来源:Z#xx#k.Com]

教材整理1

三维形式的柯西不等式

教材整理2

一般形式的柯西不等式

七、作业布置

例1：

例2：

例3：

学生板演练习

同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式

八、教学反思