小结教案和课堂实录

复 数 复 习 课

教学目标：

1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示. 2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数)对应的实参数值. 3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算. 4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义

教学重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用．

教学难点：复数的知识结构的梳理

授课类型：复习课

课时安排：1课时

教 具：多媒体

教学过程：

一、要点回顾： 1.虚数单位i: (1)它的平方等于-1，即i21; (2) i与－1的关系:

i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

(3) i的周期性： i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1

2.复数的定义：

形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.

3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a、b∈R)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC. 6. 两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小

只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除了原点外，都表示纯虚数。

8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 1 1

9 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10. 复数的加法运算满足的运算律：

交换律: z1+z2=z2+z1. 结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

11．乘法运算规则：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 12.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;

13除法运算规则：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的商

(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. 222cdcd14.共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

15．复数的模：|z||abi||OZ|a2b2

二、双基自测

：

32i(1i)（ ）

1. （安徽卷·文科·1）．复数

A．2

B．－2 C．

2i

D．

2i

ai2（浙江卷·文科·1）已知a是实数，1i是纯虚数，则a=（ ）

A．1 B．-1 C．2 D．－2

3.（上海卷·文理科·3）若复数z满足zi(2z)（i是虚数单位），则z_____ 1i,则1z50z100的值为 . 2三、专题探究：

专题一：复数的概念与分类

4.已知z设z＝a＋bi(a，b∈R)，则

a0(1)z是虚数⇔b≠0，(2)z是纯虚数⇔  ，(3)z是实数⇔b＝0 b0z例题1、已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，对于复数w＝(z＋ai)2，当a2－i为何值时，w为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

【思路点拨】

求复数z→化简w→待定a. 【解】

设z＝x＋yi(x、y∈R)，

z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2，

zx－2i111＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i. 2－i2－i555由题意得x＝4，∴z＝4－2i. 1 2

∵w＝(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，

(1)当w为实数时，令a－2＝0，∴a＝2，

即w＝12＋4×2－22＝16. (2)w为虚数，只要a－2≠0，∴a≠2. (3)w为纯虚数，只要12＋4a－a2＝0且a－2≠0，

∴a＝－2或a＝6. 【思维总结】

正确求z及化简w是解本题的关键．

举一反三：

实数m取什么值时，复数zm1(m1)i 是（1）实数？

（2）虚数？ （3）纯虚数？ ( 口答

）

专题二：复数的四则运算

复数的乘除法的运算是历年高考在复数部分考查的重点，熟练掌握复数乘除法的运算法则，熟悉常见的结论和复数的有关概念是迅速求解的关键．

1＋2i例题2、(2010年高考辽宁卷)设a，b为实数，若复数＝1＋i，则(

) a＋bi31 A．a＝，b＝

B．a＝3，b＝1 2213 C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3 221＋2i1＋2i1＋2i1－i3＋i31【解析】

∵＝1＋i，∴a＋bi＝＝＝，∴a＝，b＝. a＋bi1＋i1＋i1－i222【答案】

A 1－i1＋i12例题3、若＋＝a＋bi(a，b∈R)，且z＝，求z. 1＋i21－i2a＋bi【思路点拨】

首先求出a、b，再设z＝x＋yi，求x、y. 1－i1＋iiii1＋ii1－i【解】

＋＝－＋＝－＝－1.

1＋i21－i21＋i1－i22∴a＋bi＝－1，∴z2＝－1. ∵i2＝－1，(－i)2＝－1，∴z＝±i. 【思维总结】

本题实际是求x2＝－1的方程的两根，设(x＋yi)2＝－1，也是求方程根的通法．

举一反三：

(1i)2（ ）1、复数．

1i A．22i

B．1i

2、

C．1i

D．2i

i200225022i1i8

z23、已知

1 z4i求复数z 3

专题三：复数的几何意义及应用

复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义以及复数的加减法的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法．

例题4 已知点集D＝{z||z＋1＋3i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．

【解】

点集D的图象为以点C(－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|→OP|＝|z|. 由图知，当OP过圆心C(－1，－3)时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝1232－1＝2－1＝1，即|z|min＝1；|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，即|z|max＝3. 举一反三：

1. （上海春季卷·16）已知zC，且|z22i|1,i为虚线单位，则|z22i|的最小值是 （ ）

（A）2. （B）3. （C）4. （D）5. 2. |z34i|2，则|z|的最大值为（ ）

A 3 B 7 C 9 D 5

五、课堂小结

：通过系统复习复数的知识，及专题精讲，进一步体会数学转化的思想、方程的思想、数形结合思想的运用

四、课堂小测

1、以 的实部为虚部构成的新复数是2i5的虚部为实部，并以 5i2（ ）

A、 B、 C、 D、

2i22i55i55i

2、复数 ）

zii2i3的值是（i4A、-1 B、0 C、1 D、i

i(1对应的点在第（3i)23、在复平面内，复数 ）象限

1i

A、一 B、二 C、三 D、四

13i23i4、计算：（1） （2）

()1i

12i5、若 (x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x = ___

六、作业

1zi 的值为1、若复数z满足 ，则z1 . 1z

1 4

nn2设f(n)= + x｜x=f(n)｝中元素的个数是 . 则集合｛1i1i

2bi3、如果复数

（其中i为虚数单位，b为实数

）的实部和虚部互为相反数，12i那么b等于

22A. C.－ B D. 2 2

33

2m＜1时，复数z=(3m－2)+(m－1)i在复平面上对应的点位于

4、当 ＜A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3

1i1i

5、已知 ，，求实数(2x1)iy(

3y)i x与y.

6、若n是奇数，求

1i4n1i4n221 5