1.3 二项式定理（通用）优秀教学设计

1.3

二项式定理

1．3.1

二项式定理

1．会证明二项式定理．(难点) 2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点) [基础·初探] 教材整理

二项式定理

阅读教材P29～P31，完成下列问题．

二项式定理及相关的概念

二项式定理

概念

二项式系数

二项式通项

二项展开式

备注

n1n－1n－22n－kknn公式(a＋b)n＝C0b＋C2b＋…＋Ckb＋…＋Cnb(nna＋Cnanana∈N*)称为二项式定理

各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数

n－kkn－kkCkb是展开式中的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Ckb(其中nana0≤k≤n，k∈N，n∈N*) n1n－1n－22n－kknnC0b＋C2b＋…＋Ckb＋…＋Cnb(n∈N*) na＋Cnanana01在二项式定理中，如果令a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝Cn＋Cn2kknn*x＋C2nx＋…＋Cnx＋…＋Cnx(n∈N)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(

) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(

) n－kk(3)Ckb是(a＋b)n展开式中的第k项．(

) na(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(

) 【解析】

(1)×

因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．

n－kkn(2)×

因为二项式的第k＋1项Ckb和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cknanb－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．

n－kk(3)×

因为Ckb是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．

na

(4)√

因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Crn. 【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑： [小组合作型] 二项式定理的正用、逆用

3例1 (1)用二项式定理展开2x－2x25；

0n－12n－k(2)化简：Cn(x＋1)n－C1＋Cn(x＋1)n－2－…＋(－1)kCk＋…＋n(x＋1)n(x＋1)(－1)nCnn. 【精彩点拨】

(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．

3335045－－【自主解答】

(1)2x－2x25＝C5(2x)5＋C1(2x)·2＋…＋C2

552x2x180135405243＝32x5－120x2＋x－x4＋8x7－32x10. 0n－1n－2n－(2)原式＝Cn(x＋1)n＋C1(－1)＋C2(－1)2＋…＋Ckn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)kn(－1)k＋…＋Cn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.

1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．

2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．

3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．

[再练一题] 143x＋的展开式；

1．(1)求x12(2)化简：1＋2Cn＋4Cn＋…＋2nCnn. 144133x＋＝C0【解】

(1)法一：4(3x)＋C4(3x)

x12141132234

·＋C4(3x)·＋C4(3x)＋C4xxxx121＝81x2＋108x＋54＋x＋x2. 143x＋14法二：3x＋＝x2

x1＝x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) 121＝81x2＋108x＋54＋x＋x2. 1nnnn(2)原式＝1＋2Cn＋22C2n＋…＋2Cn＝(1＋2)＝3.

二项式系数与项的系数问题

1例2

(1)求二项式2x－x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；

1(2)求x－x9的展开式中x3的系数．

【精彩点拨】

利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．

【自主解答】

(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1

1r6－r－

＝Cr(2x)·6x36－rr＝(－1)rCr·2·x3－62，

9∴T6＝－12·x－2. ∴第6项的二项式系数为C56＝6，

第6项的系数为C5(－1)·2＝－12. 6·1rr9－r－(2)Tr＋1＝C9x·x＝(－1)r·Crx9－2r，

9·3∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C9＝－84.

1．二项式系数都是组合数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．

2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为737－3Ck(2x)3，其二项式系数是C3n.例如，在(1＋2x)的展开式中，第四项是T4＝C7173＝35，而第四项的系数是C372＝280.

[再练一题] 2．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

5665566【解】

T6＝C5n(2x)，T7＝Cn(2x)，依题意有Cn2＝Cn2⇒n＝8. 44∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48(2x)＝1 120x. kkk－1k－1C82≥C82，设第k＋1项系数最大，则有kk

k＋1k＋1C82≥C82，

∴5≤k≤6. ∴k＝5或k＝6(∵k∈{0,1,2，…，8})．

∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. [探究共研型] 求展开式中的特定项

14探究1

如何求x＋x展开式中的常数项．

4－r1r4－2r【提示】

利用二项展开式的通项Crx·求解，令4－2r＝0，则r＝C4x4x4×31r＝2，所以x＋x4展开式中的常数项为C2＝42＝6. 探究2

(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？

【提示】

(a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．

1探究3

如何求x＋x(2x＋1)3展开式中含x的项？

111【提示】

x＋x(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋x中的x与x分别与(2x21222＋1)3展开式中常数项C3C33＝1及x项C32x＝12x分别相乘再把积相加得x·3＋1112x＋x(2x＋1)3展开式中含x的项为13x. ·C(2x)＝x＋12x＝13x.即3x33n例3

已知在x－的展开式中，第6项为常数项．

3x(1)求n；

(2)求含x2项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

【自主解答】

通项公式为：

n－rrrrrn－2rTr＋1＝Crx(－3)x－＝C(－3)x3. nn33(1)∵第6项为常数项，

n－2r∴r＝5时，有3＝0，即n＝10. (2)令10－2r1＝2，得r＝32(10－6)＝2，

2∴所求的系数为C210(－3)＝405. 10－2r3∈Z，(3)由题意得，0≤r≤10，r∈Z.

令10－2r3＝k(k∈Z)，

3则10－2r＝3k，即r＝5－2k. ∵r∈Z，∴k应为偶数，

k＝2,0，－2即r＝2,5,8，

所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.

1．求二项展开式的特定项的常见题型

－1n－k＋1k－1(1)求第k项，Tk＝Ckb；

na(2)求含xk的项(或xpyq的项)；

(3)求常数项；

(4)求有理项．

2．求二项展开式的特定项的常用方法

(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

[再练一题] 3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．

a(2)若x－26展开式的常数项为60，则常数a的值为________.

x【解析】

(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，

2∴其系数为C510＋C10(－1)＝207. a6－k(2)x－26的展开式的通项是Tk＋1＝Ck·

6xx6－3k(－a)kx－2k＝Ck(－a)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为6x常数项，即常数项是C26a，

根据已知得C26a＝60，解得a＝4.

【答案】

(1)207

(2)4 [构建·体系]

反馈练习

1．在(x－3)10的展开式中，含x6的项的系数是(

) A．－27C610

B．27C410

C．－9C610

D．9C410

【解析】

含x6的项是T5＝C410x6(－3)4＝9C410x6. 【答案】

D x12．在2－38的展开式中常数项是(

) xA．－28

B．－7 C．7

D．28 【解析】

Tk＋1＝Ck8·x128－k·－k＝(－1)kk18－k43x·C8·2·x8－3k，当k＝6时，T7＝(－1)6·C68·122＝7. 【答案】

C 3．在2162x－x的展开式中，中间项是________．

【解析】

由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝

C36(2x2)3·－1x333333＝C6·(－1)·2·x，所以T4＝－160x. 【答案】

－160x3

8－43k＝0，即

2194．在x－2x的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.

1k1kk18－3k129－k－－【解析】

Tk＋1＝Ck·(x)·＝·C·x，当k＝3时，T＝94－22x293212139·C9·x＝－2x9，所以第4项的二项式系数为C39＝84，项的系数为－. 221【答案】

84

－2

25．求x3＋3x25的展开式的第三项的系数和常数项．

【解】

通项4523322T3＝C5(x)3x2＝C25·x，所以第三项的系数为92440C5·9＝9. k35－k2k2kk15－5kTk＋1＝C5(x)3x2＝3·C5x，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数3223803x2＝. 项为T4＝C3(x)·527

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)