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必修五

第三章复习课

一、教学目标

知识与技能

1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识. 2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式. 3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用. 4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题. 5.会用基本不等式求解函数最值. 过程与方法

将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣. 情感、态度与价值观

1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；

2.培养学生分析问题和解决问题的能力；

3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想. 二、重点及难点

教学重点：不等式的性质，简单的线性规划，三个二次之间的关系，突出数形结合的思想，基本不等式的证明及应用. 教学难点：含参一元二次不等式，一元二次方程，二次函数的灵活转化及对两根的分类讨论；基本不等式的应用. 三、教材分析

不等量关系和等量关系都是反映客观世界量与量之间最基本的数学关系。它与方程一样，都是解决数学问题的主要工具，在数学研究和解决实际问题中起着同样重要的作用。不等式在中学数学中有着广泛的应用，它与数、式、方程、函数、导数等知识有密切的关系，例如讨论方程或方程组解的情况；研究函数的定义域，值域，单调性，最值；讨论曲线的分布范围等都需要用到不等式的相关知识。因此，不等式在中学数学中有着重要的地位，也是进一步学习数学的基础之一。

四、教学过程

1、三个二次之间的关系

所谓三个二次，指的是①二次函数图象与x轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点. 解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化. 例1

设不等式x2axa2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围. 2

分析：M⊆[1,4]有两种情况：

其一是M＝∅，此时Δ<0；

其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，因此分三种情况计算a的取值范围. 解：设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，

对方程x2－2ax＋a＋2＝0，

有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，

①当Δ<0时，－1

②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，M＝{－1}⊈[1,4]，不满足题意；

当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]，满足题意. ③当Δ>0时，a<－1或a>2. 设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1

那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x10，0，18a≤，7即

1＜a＜4，a＜－1或a>2，a≤3，

综上可知，当M⊆[1,4]时，a的取值范围是(－1，

18

]. 7总结：(1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x1

要是用求根公式来解就相当麻烦，用则一次不等式组. (2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想. 跟踪训练1

若关于x的方程2kx2x3k20

的两根一个小于1，一个大于1，

求实数k的取值范围. 2、线性规划问题

2f1≥0且f4≥0，1＜a＜4且Δ>0

可化归为简单的一元x4y3例2

已知变量x，y满足约束条件

3x5y25

，

求z＝2x＋y的最大值和最小值. x1

(1)因为寻找最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z越大还是越小. 跟踪训练2

某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小. 3、基本不等式

利用基本不等式证明不等式和求最值的区别. 利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件. 利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等. 例3

设f(x)＝50x

. x21(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；

(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值. 分析：（1）利用基本不等式求解

1当x>0时，有x＋≥2，

x∴f(x)＝50x50＝≤25. 21x1x＋x1当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，

x（2）基本不等式中等号取不到时，应利用函数单调性求最值

1∵函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，

x50∴f(x)＝在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20. 1x＋x∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20. 总结：利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解. 跟踪训练3

求函数y＝例4

函数y＝a＞0)上，则1x1x(x＞3)的最小值. x3(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn11的最小值为__. mn

当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值. 跟踪训练4

设x，y都是正数，且

4、小结

（1）.不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质. （2）.一元二次不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集. （3）.二元一次不等式表示的平面区域的判定

对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点. （4）.求目标函数最优解的方法

通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解. （5）.运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.

12＝3，求2x＋y的最小值. xy