3.1.2 复数的几何意义教学实录与评析

课题：复数的几何意义

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一、教学目标：

（1）能够类比实数的几何意义说出复数几何意义

（2）会利用几何意义求复数的模；

（3）能够说出共轭复数的概念

二、教学重点、难点：

重点：复数的几何意义以及复数的模

难点：复数的几何意义及模的综合应用

三、教学方法：

本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义和复数的模公式。

四、教学过程：

（一）课题引入

实数的几何意义

1.提问：在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示

 数轴上的点 实数 (数) (形) （二）新知探究

探究一：复数的几何意义

思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么？类比实数的表示，是否也存在一个点与之对应？若存在，这个点的形式是什么？

问：你能找出复数与有序实数对、

坐标点的对应关系吗？

（教师提出问题，学生思考，进行小组讨论）。

通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系。从而找到复数的几何意义。

思考2：平面向量oz的坐标为 ,由此你能得出复数的另一个几何意义吗？

一一对应

通过思考2，让学生能够把复数和位置向量相结合，从而推导复数的另一个几何意义。

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

一一对应一一对应复数 复平面内的点 平面向量

（数） （形）

建立了平面直角坐标系来表示 ------复数平面 (简称复平面) x轴------实轴 y轴------虚轴

小结：复数的几何意义：

1复数与复平面内的点是一一对应的

2复数与复平面内向量oz一一对应的

复平面的有关概念介绍

1复平面

2实轴 表示实数

3虚轴 除原点外都是纯虚数

探究二：复数的模

思考：实数绝对值的几何意义？通过类比，你能说出复数的模几何意义吗?

复数z=a+bi(a，b∈R)的模：|z|=OZ= 共轭复数： （三）典型例题

例1．辨析

下列命题中的假命题是（ ）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

变式（或跟踪）训练

1．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)不充分不必要条件

2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)不充分不必要条件

例2．已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围

方法总结：表示复数的点所在象限的问题 转化 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题

( 几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想

变式（或跟踪）训练：1、已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。

解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），

∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0 ∴m=1或m=-2。

2：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。

（四）拓展提升

探究三、复数的模

的几何意义: 对应平面向量

的模| Z|，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。

（五）归纳小结

1、复数几何意义

2、复数模的几何意义

3、数学思想方法：类比、数形结合

五、作业布置

1.书面作业： 2.探究性作业：思考：

(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？

（2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 六、教学反思

七、超级链接

1、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：

4，3+i，-1+4i，-3-2i，-i 13i，试比较它们模的大小

223、若复数Z=4a+3ai(a<0)，则其模长为

2、已知复数Z1=3-4i，Z2=4满足|z|=1(z∈R)的z值有几个？满足|z|=1(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？

5、

复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个平行四边形的三个顶点，求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数. 6.设Z为纯虚数，且z11i，求复数Z

7、设Z为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数Z