3.2.2 复数代数形式的乘除运算精品学案

3.2.2

复数代数形式的乘除运算

教学目标：

1．掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点) 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点) 3．理解共轭复数的概念．(易混点)

教材整理1

复数的乘法法则及运算律

阅读教材P58至“例2”以上内容，完成下列问题．

1．复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

(1)交换律：z1·z2＝z2·z1. (2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)．

(3)乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.

已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. a－1＝0，【解析】

因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以a＋1＝b，a＝1，解得所以a＋bi＝1＋2i. b＝2，【答案】

1＋2i 教材整理2

共轭复数

阅读教材P59“例3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题．

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z的共轭复数用z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.

若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________.

1

x－2＝3x，【解析】

由题意可得

y＝1，x＝－1，∴

y＝1.【答案】

－1

1 教材整理3

复数的除法法则

阅读教材P59“探究”以下至P60“例4”以上内容，完成下列问题．

z1a＋biac＋bd设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c＋di≠0且c，d∈R)，则z＝＝c＋dic2＋d22bc－ad＋2i(c＋di≠0)．

c＋d2

i是虚数单位，复数【解析】

7－i＝________. 3＋i

7－i7－i3－i20－10i＝＝10＝2－i. 3＋i3＋i3－i【答案】

2－i

(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(

) A．－3

C．2 B．－2 D．3 (2)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(

) A．－2－i C．2－i (3)计算：B．－2＋i D．2＋i i－2i－1＝________. 1＋ii－1＋i【精彩点拨】

(1)利用复数的乘法运算法则进行计算．

(2)利用复数的除法运算法则进行计算．

(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．

【自主解答】

(1)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，

2

解得a＝－3，故选A. i＋1(2)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝i＝1－i，

∴z＝2－i，故选C. (3)＝＝＝＝i－2i－1

1＋ii－1＋i－1－i－2i＋2

i－1－1－i＋i1－3i1－3i－2－i＝

－2＋i－2＋i－2－i－2－3＋6－1i

5－5＋5i5＝－1＋i. 【答案】

(1)A

(2)C

(3)－1＋i

1．复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．

1132．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，－±i3＝1，i＝－i，221＋i1－i＝i，＝－i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．

1－i1＋i

[再练一题]

1＋3i1．(1)复数等于(

) 3－iA．i

C.3＋i B．－i D.3－i (2)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．

1＋2i2＋31－i(3)计算：＝________. 2＋i

3

1＋3i1＋3i3＋i【解析】

(1)＝＝

3－i3－i3＋i3＋i＋3i－3＝i. 4(2)因为z＝(5＋2i)2＝25＋20i＋(2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，所以z的实部为21. 1＋2i2＋31－i(3)

2＋i－3＋4i＋3－3i＝

2＋i＝i

2＋ii2－i＝5

12＝5＋5i. 12【答案】

(1)A

(2)21

(3)5＋5i

已知复数z的共轭复数是z，且z－z＝－4i，z·z＝13，试求z. 【精彩点拨】

→计算zz的值

设z＝x＋yix，y∈R→由条件到方程组求x，y的值z【自主解答】

设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得

x＋yi－x－yi＝－4i，

x＋yix－yi＝13，2yi＝－4i，即22

x＋y＝13，x＝3，x＝－3，解得或

y＝－2y＝－2.

4

因此z＝3－2i或z＝－3－2i. 3－2i3－2i25－12i－3－2i512z于是＝＝＝13＝13－13i，或＝＝3＋2i3＋2i3－2i－3＋2izzz－3－2i25＋12i512＝13＝13＋13i. －3＋2i－3－2i

1．已知关于z和z的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．

2．关于共轭复数的常用结论

(1)z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质；

(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数；

(3)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．

[再练一题]

2．已知复数z满足z·z＋2i·z＝4＋2i，求复数z. 【解】

设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi，

由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i ＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，

22x＋y－2y＝4，x＝1，x＝1，∴解得或

2x＝2，y＝3y＝－1，

∴z＝1＋3i或z＝1－i.

探究1

i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的结果分别是什么？

【提示】

1，i，－1，－i. 探究2

in(n∈N)有几种不同的结果？

【提示】

四种：1，i，－1，－i.

5

探究3

in＋in＋1＋in＋2＋in＋3(n∈N)结果是多少？

【提示】

in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝i(1＋i－1＋i)＝0.

(1)计算：－23＋i22 016＋；

1＋23i1－i1＋i(2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 016的值．

1－i【精彩点拨】

将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．

i1＋23i221 008【自主解答】

(1)原式＝＋

1＋23i1－i2＝i＋－2i1 008＝i＋i1 008＝i＋i4×252＝i＋1. (2)1＋z＋z＋…＋z22 0161－z2 017＝，

1－z1＋i1＋i22i而z＝＝＝＝i，

1－i1－i1＋i2所以1＋z＋z＋…＋z22 0161－i2 0171－i＝＝＝1. 1－i1－i

1．要熟记in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．

2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．

[再练一题]

3．在上例(2)中，若z＝1－i，求1＋z＋z2＋…＋z2 016的值．

1＋i1－i1－i2－2i【解】

∵z＝＝＝2＝－i. 1＋i1＋i1－i∴1＋z＋z＋…＋z1.

6 22 0161－z2 0171－－i2 0171＋i2 0171＋i2 0171＋i＝＝＝＝＝＝1－z1－－i1－－i1＋i1＋i

1．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(

) A．－1＋i C．1＋i 【解析】

z＝【答案】

A 2．复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

B．－1－i D．1－i 2i1＋i2i＝＝－1＋i. 1－i1－i1＋i【解析】

∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．

【答案】

B －3＋i3．复数z＝的共轭复数是(

) 2＋iA．2＋i C．－1＋i 【解析】

∵z＝∴z＝－1－i. 【答案】

D 4．已知a为实数，【解析】

a－i是纯虚数，则a＝________. 1＋iB．2－i D．－1－i －3＋i－3＋i2－i－5＋5i＝＝5＝－1＋i，

2＋i2＋i2－ia－ia－i1－ia－1－a＋1i＝＝，因为

21＋i1＋i1－ia－i是纯虚数，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1. 1＋i【答案】

1 3＋2i3－2i5．计算：－. 2－3i2＋3i3＋2i3－2i【解】

法一：－

2－3i2＋3i

7

＝＝3＋2i2＋3i－3－2i2－3i

2－3i2＋3i6＋13i－6－6＋13i＋626i＝13＝2i. 4＋93＋2i3－2ii2－3i－i2＋3i－＝－

2－3i2＋3i2－3i2＋3i法二：＝i＋i＝2i.

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