复习参考题公开课教案（教学设计）

第三章复习

一．不等式性质的应用

1、精要总结

（1）对称性:abba，

abba （2）传递性:ab,bcac （3）可加性:ab

acbc,acbc

（4）可乘性:ab,c0acbc,abab，ab,c0acbc,

cccc推论1：同向(正)可乘: ab0,cd0acbd

推论2：可乘方(正):ab0

anbn` (nN,n2)

(5) 可开方(正):ab0

nanb (nN,n2)

2、错例辨析

例1.设f(x)axbx,且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的最大值和最小值. 错解:由2f(x)ax2bx得，f(1)ab,f(1)ab，1f(1)2,2f(1)4，1ab2,2ab4，32a6,02b3,，64a12,32b0,

3f(2)4a2b12，

f(2)max12,f(2)min3. 错例分析：对同向不等式可加性推论：abacbd，前后关系不是充要条件cd的关系. 多次使用同向不等式可以作加法运算，会导致f(-2)的范围扩大.另外，本题也可以使用线性规划求解，题中a、b不是相互独立的，而是相互制约的，不可分割来解.先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式的关系的运算求得待求整体的范围是避免错误的一条途径. 正解：f(1)ab,f(1)ab，f(2)4a2b.设f(2)mf(1)nf(1)，即 4a2bm(ab)n(ab)(mn)a(mn)b，

比较两边系数：mn4,m3，f(2)3f(1)f(1). mn2n1又1f(1)2,2f(1)4，

33f(1)6,5f(2)10，f(2)max10,f(2)min5. 针对练习1：若a、b满足1ab1,，试求a+3b的取值范围. 1a2b3,xy1,x1,解得

x2y3,y2,解：设a+3b=x(a+b)+y(a+2b)=(x+y)a+(x+2y)b，由则1(ab)1，22(a2b)6，两式相加，得1a3b7. 二．一元二次不等式的解

1、精要总结

（1）一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系：

a<0可以转化为a>0 我们以一元二次不等式ax2bxc>0与ax2bxc<0(a>0)为例来说明一元二次方程的解: ①从函数的观点来看,一元二次不等式ax2bxc>0（a> 0）的解集就是二次函数yax2bxc（a> 0）在 x轴上方部分的点的横坐标x的集合；一元二次不等式ax2bxc<0（a> 0）的解集就是二次函数yax2bxc（a> 0）在 x轴下方部分的点的横坐标x的集合. ②从方程的观点来看,一元二次方程的根是二次函数与x轴交点的横坐标，一元二次不等式（a> 0）的解集，就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；ax2bxc<0ax2bxc>0（a> 0）的解集，就是大于小根,且小于大根的实数的集合. （2）一元二次不等式解题步骤总结如下：

①

将二次项系数化为正，即：

f(x)AxBxC0(或<0)( A0). ②

计算判别式，分析不等式的解的情况：

③

写出不等式的解集. 2、错例辨析

2

例2.已知f(x)3xa(6a)xb.

（1）解关于a的不等式f(1)0；（2）若不等式f(x)>0的解集为（-1,3），求实数a,b的值. 错解：.（1）

f(1)0,3a(6a)b0，

即a26a3b0.

2不等式的解集为：(36b,36b).

错例分析：第一问是先构造不等式，再解不等式.在解不等式时，忽略了对判别式的讨论.讨论参数要不重不漏.另外注意二项式系数为负时先把二项式系数化为正的来处理. 正解：f(1)0,3a(6a)b0，

即a26a3b0.

244b.

①当0,即b6时，原不等式解集为空集；

②当0,即b6时，方程有两根x136b,x236b.

不等式的解集为：(36b,36b).

综上：b6时，原不等式解集为空集；

b6时，不等式的解集为：(36b,36b).

（2）f(x)0,3xa(6a)xb0

即3xa(6a)xb0.

由题意知，-1与3是方程3xa(6a)xb0的两根，

222a(6a)13a33a333所以，解得或. bb9b9133针对练习2：解关于x的不等式： 解：

若m=0，则为一元一次不等式，解集为R；

当m≠0时，二次项系数，；不等式化为 .

若

，则解集为；

若三．线性规划

1、精要总结

，则解集为. 求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题的求解步骤是：

①作图---画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线；

②平移---将直线平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；

③求值---解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. ziyuanku.com2、错例辨析

x4y3022例3．变量x、y满足3x5y250，设zxy6x4y13，求z的取值x1范围.

x4y30错解：由约束条件3x5y250，作出（x,y）的可行域如图

x1

解得A(1,y Ziyuanku.com5 A B x 0 3

4C 1 22)；C(1,1)；B(5,2)

5zx2y26x4y13(x3)2(y2)2表示可行域上的点到原点的距离

dmin1(3)4 dmax352(22)28 4z8

错例分析：从几何意义着手，应该是距离的平方.

来源：ziyuanku.comx4y30正解：由约束条件3x5y250，作出（x,y）的可行域如上图

x122)；C(1,1)；B(5,2)，

5解得A(1,zx2y26x4y13(x3)2(y2)2表示可行域上的点到点（-3，2）

的距离的平方. dmin1(3)4，dmax352(22)28

，

16z64。

针对练习3：设函数yxaxb的两个零点中，一个大于0小于1，另一个大于1小于2，求2b的取值范围. a解：函数的零点就是方程x2axb0的根，现令两个根为x1,x2，由已知

f(0)b00x11,1x22，再结合二次方程根的分布得f(1)1ab0……（1）

f(2)42ab0将（1）看作线性约束条件，令zbb0为目标函数，其几何意义是可行域内的点A（a，aa0b）与原点的连线的斜率，根据（1）作出平面区域如图.

当过M（－3，2）时，

22bk1；当过a轴时，k20；所以0. 33a资源%库ziyuanku.com四．利用基本不等式解题

1、精要总结

最值定理：已知x,y都是正数，

①如果积xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p；②如果和xy是定值s，那么当xy时，积xy有最大值证明：∵x,yR， ∴

12s．

4xyxy，

2xy①

当xyp (定值)时，，

p，∴xy2p，∵上式当xy时取“”2∴当xy时有(xy)min2p；

②当xys (定值)时，xy时有(xy)maxs1

∴xys2，∵上式当xy时取“”∴当xy2412s．

4说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；

②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“等”.

③函数式中各项必须都是正数; ④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

2、错例辨析.

例4.已知a、b均为正实数，且a+b=1,求y(a错解：y(a11)(b)的最小值. ab111ba)(b)(ab)()224。

ababab错例分析：错在“＝”号的可能性,两次使用基本不等式，等号不能同时成立，故y的最小值不可能成立. 正解1：

111ba112y(a)(b)(ab)()(ab)2(ab)ababababab (4ab1ab3ab)2(24ab1ab3ab225

)24当且仅当ab正解2：

11125时，y(a)(b)取最小值为。

2ab4111ba1(ab)22ab2y(a)(b)(ab)()abab2

abababababab

1ab1令tab，即t0,. 424又f(t)221t在0,上是单调递减的，

t41331当t时，f(t)min,此时，ab.

442125当ab时，f(t)min.

24针对练习4

已知正数x,y满足x2y=1，求11的最小值。

xy解：∵x2y=1，∴2yx1111322，

＝（）(x2y)=3+xyxyxy（

当且仅当2yx即x2y是取等号）

xy ∴11的最小值是322.

xy