小结优质课一等奖

3.4基本不等式（第一课时）

苏湾中学 王宏

【教学目标】

1.知识和技能：理解并掌握基本不等式；会用基本不等式解决简单的最值问题。

2.过程和方法：通过本节的学习，体会数形结合及特殊到一般的数学方法。

3.情态和价值：通过本节的学习，体会数学源于生活，激发学习兴趣并提高数学素养。

【教学重点】

基本不等式的证明及简单应用

【教学难点】

基本不等式等号成立的条件及最值的求法

【教学过程】

一、知识学习（创设数学情境，提出问题，利用问题教学引导学生进行探索研究并证明基本不等式）

1.问题引入

如图，这是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

1

思考：这会标中含有怎样的几何图形？

思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

2.问题探索

DGAHFECB

(1)、正方形ABCD的面积S=_____________ (2)、四个直角三角形的面积和S’=___________ (3)、S与S’有什么样的不等关系？

问：那么它们有相等的情况吗？

问题一、如果a0,b0，我们用a,b分别代替a,b,可得到什么结论？

替换后得到

即

(a)2(b)2≥2abab≥2abab≥ab2(a0,b0)问题二、你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？

证明不等式：证明：要证ab≥ab(a0,b0)

2ab≥ab

2只要证：ab2ab ①

要证①，只要证ab2ab0 ②

要证②，只要证(ab)20 ③

显然，③是成立的。当且仅当ab时，③中的等号成立。

2

特别地，若a0,b0，则ab2ab

通常我们把上式写作: abab(a0,b0)

2当且仅当ab时取等号，这个不等式就叫做基本不等式。

（1）适用范围：a0,b0；

（2）在数学中，我们把正数a,b的几何平均数。

文字叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.归纳总结

（1）、重要不等式：一般地

a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立。

（2）、基本不等式：若a0,b0，那么就有abab

，即2ab叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做2ab2ab

，当且仅当ab时，等号成立。 二、例题讲解

例1：已知

x0，求

f(x)

例2：

（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

123x的最小值。

x3

DCyAxB

分析： （1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短：（2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：

知xy,求（2xy）min2xy）,求xymax（2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：

知（三、巩固练习

1. x0，当x

取什么值，x1的值最小？最小值是多少? x2.已知直角三角形的面积等于50，两直角边各为多少时，两直角边的和最小，最小值是多少？ 3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

四、变式训练

1.求函数f(x)x1

(x1)的最小值. x12.2. 若0x

1 , 求函数yx(12x)的最大值. 2小结：若x、y皆为正数，

则当xy的值是常数P时，

当且仅当x=y时，

x+y有最小值2p，xy2xy2p

若x、y皆为正数，

则当x+y的值是常数S时，

当且仅当x=y时，

xy1xys1xys2

有最大值s2，xy4224

4

五、课堂小结

1.两个重要的不等式

（1）a,bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立。

ab(a0,b0),当且仅当ab时，等号成立。

2(2) ab2.利用基本不等式求最值

已知x,y都是正数，P,S是常数。

（1）xyPxy2p（当且仅当xy时，取""号）

12s（当且仅当xy时，取""号）

4（2）xySxy简记为：“积定和最小，和定积最大”

3.求最值时注意把握

“一正，二定，三相等”

六、作业

习题3.4 A组 1，2

5