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教学设计----规划的整体美

任课教师

吴方跃

授课年级

高一

日期

2018.06.15 教学课题: 简单的线性规划问题

1.学生了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解. 2.学生在探究和实践过程中,经历变式的过程，在”变”与”不变”过程中感受到数学思考的哲学基础，感悟由特殊到一般、由具体到抽象的研究方法，体会数形结合思想,转化思想的意义和价值. 3．让学生体验数学活动中充满着探索与创造，增强其锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯. 教学方法:

学生探索、交流与教师启发、引导相结合.

教学重点: 让学生经历用图解法求最优解的探索过程，体会数形结合思想在解决数学问题时的优越性. 教学难点:用图解法准确求得线性规划问题的最优解. 教学用具: ppt几何画板课件

教学过程: 【教学引入】

（一）创设情境，

提出问题：

同学们闭上眼睛憧憬一下未来，假如十年后你是某公司的生产设计工程师，坐在宽敞的办公室里，思考着如何安排公司的生产，你会考虑什么问题呢？

好，今天我们就来探究如何规划这些问题。

学生活动

在轻松愉悦中思考教师提问的问题。

组织引导学生从不同角度分析探究问题.

设计意图

以景激情，以情激思，点燃学生的求知欲，引领学生进入学习情境.

（二）探究发现，建构新知

作为生产设计工程师,若你负责下的某车间能生产甲乙两种产品,每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，由于生产设备和人员的限制

，每天生产两种产品的总量不小于1吨，不大于3 吨，两种产品的相差值不超过1吨. xy问:根据题意写出x、y满足的不等式组？

xy

探究一: 又知生产1吨甲产品获利2万元，生产1吨乙产品获利1万元，则该车间每天最高可获利多少万元？（引导学生将实际问题转化为数学模型,即令z=2x+y,则z的最大值是多少？）

分析：预案1：学生用不等式的运算

设置问题情景，让学生感受问题的实际意义和价值，体验数学来源于生活，数学服务于生活.

xy,xy,x,y,y,xy

（师:引导不等式性质运算的非等价性说明,从数形两个角度找出错误的原因）

预案2：待定系数法

xy(xy)(xy)

（师:引导思考待定系数法为什么能解决这类问题,如何判断正确与否）

预案3：代特殊点预案:学生把区域内的特殊点找出来，即算出相应2x+y的值，得到最大值.

预案4：图形分析法，因为求2x+y,所以向右向上的点即可。但是很难同时达到,所以只能确定阴影部分又上方,即图形四分之一处. 预案5：函数法,先确定取最大值点在线段AB上， z=2x+y, 又y=-x+3,所以代入z=2x+y消去y,得z=x+3 所以x越大z越大，即B点处。

预案6：几何意义法，学生观察得到目标函数与直线方程的关系，找出z的几何意义z=2x+y,y=-2x+z表示一条斜率为-2在y轴截距为z的一条直线，y=-2x+z上任意点(x,y),2x+y等于z.（师:演示电脑课件,使学生的思路更加清晰化，不同z值时对应不同直线，形成平行直线系.）

预案6：（若学生想不出）

设问1：若知道z=5，求x，y的值分别可以是多少？这些点（x，y）有什么特点？

学生分类讨论. 设问2：从图形观察，借助我们的数形结合思想，此时的点（x，y）落在哪里？

设问3：若目标函数值z= 6时，点（x，y）在哪里？观察z取不同值时的直线共性是什么？（所有直线斜率均为-2）

设问4：不同值时对应不同直线，且直线为平行直线系，在平行移动的过程中，直线的哪个元素在变化，那么z的几

分析思考交流

借助一个实际问题，引导学生发散思维，在探究的过程中寻找方法。通过层层设问，从特殊到一般，逐步理解目标函数与直线方程的联系，及最优解与直线纵截距的关系，从而达到突破难点的目的，强化数形结合的思想.从求值中感受z值的“变”与“不变”，进而孕育定直线和平行线组的产生.

用电脑课件进行动态演示，让学生更直观明确z几何意义.

何特征是什么？

（通过探究学生会发现z实际上是与截距有关的某个量，看到直线的平行移动带来截距的变化。而直线的纵截距就是目标函数值z，从而得到直线纵截距越大，z值越大。）

（2）探究一变：设立几个设问: 设问：1、区域内哪些点2x+y等于3？为什么？（作直线2x+y=3，直线与区域的交点，因为直线上任意点的坐标满足方程2x+y=3, 同一直线上点在“变”但相应的2x+y的值却“不变”）

2、如图B、D哪点相应的2x+y的值更大？为什么？（学生对动态直线的理解有困难，所以促进从形到数，从数到形思维的转化）

3、如图B、D哪点相应的x+y更大？

解题反思：1、说明在研究问题上一个形和数转化的突破：z，数体现2x+y的值；形体现直线的纵截距，数呈现比较抽象，难分辨；形呈现具体，直观。

2、数形的相互转化：

函数z=2x+y—方程z=2x+y—直线y=-2x+z （3）提炼该题的方法，给出相关概念

实际上，刚才同学们共同努力解决的这个问题就是我们数学中的线性规划问题。（板书课题，结合该题给出相关概念）线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

线性规划问题：

④一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

师：根据你的理解回答刚才的问题对应的线性约束条件、可行域、最优解分别是什么？为什么叫线性规划？

通过设问考察和加强学生对用形的方法求z最值问题的理解.

教师给出线性规划的一些概念，

（三）探究猜想、

线性约束条件一定下，

目标函数ZAxBy（A,B)

最优解的取得和哪些量有关系？为什么？

（四）自我尝试，运用新知

探究二： z=x-2y,求z的最大值和最优解？

（学生争辩讨论后教师反问：通过反问探求z的意义，和从数形两个方面z值的求法.）

解题反思:1：求线性目标函数的最值的一般步骤？

(师:我们已经完成了两个线性规划的问题了，同学们能不能根据这两道题来总结出解决此类问题的步骤呢？) 问:一般的，已知某个二元一次不等式组，如何求目标函数zAxBy(A,B)的最值？ 学生总结方法：一般方法

、将ZAxBy化为斜截式：yAZx化BBZ、直线与y轴交与(,)，找出Z的几何意义，BZ即与Z与的关系找BA、作直线yx,然后平移该直线；移B、找出最优解求出相应Z的值.求

简称“化—找—移—求”，说明本质是“数—形—形—数”. 师：1、强化解决这类问题的一般步骤：“化—找—移—求”；

2、引导在体验中让学生认识到z是一个与截距有关系的量，而未必就是截距，解题中先找z的几何意义。

探究三：

xyp(x,y)满足条件xyxy

若zyx,求z的最大值时及最优解？

思考

作答

引导特殊-到一般进行猜想，发散思维，目的不在于猜的结果，而是引导思维的方式

1、让学生进一学生步理解巩固刚先独才得到的方立思法，克服个别考，讲问题存在的不解自足--z恰好为己的截距，让学生思路

认识到z是一

个与截距有关

系的量，而未

必就是截距。

2、落实基础，

让学生经历

“化—作—移

—求”求目标组织函数最值的方学生法，

反思

归纳，

教师

引导、

纠正.

1、探究三要求

学生给出完整

的解题步骤，

再次强化刚才

得到的方法；

2、感受目标函

数的斜率对最

（学生黑板板演）

解：zyx,yzxz与y轴交与点(,),因此要求z的最大值只需求截距的最大值，作直线yx的一系列平行线，

知A处截距最大。xyA(,)xy所以最优解A(,)zyx()

一个学生黑板板演，其他学生下面独立演算.

学生反思思考后，分小组讨论、交流

，然后发表见解. 优解的影响，最优解是可行域内的点，求最优解要考虑目标函数直线的斜率与可行域边界的直线的斜率的大小关系。在求最值的过程中，学生易忽视直线的斜率，导致直线画得不准确，使得最优解有误，教师要加以引导。3、感受运动的观点动态分析问题。

爱因斯坦说：发现问题比解决问题更重要.所以设计自由探究环节,让学生在实际做中发现问题,感悟斜率对最优解的影响.

自由探究：

一学生黑板板演时其他学生作完进行让自由探究. 师：在做本题时有什么启发？发现什么问题？

(学生自由探究得到目标函数斜率对最优解的影响)

变式2：p(x,y)在区域内， z=x-ay ，若z只在C处取最小值，求a的取值范围？

设计变式2的目的是考察学生对z的意义及目标函数斜率对最优解的影响的综合理解.学生对问题的理解不能光靠模仿，一定要领会其中的数学内涵，体会数学化的过程，感悟知识之间的内在

（四）问题延伸，探究创新

探究四

：今天研究的线性规划给我们提供解决问题的一种思路，联想也可以用来解决x、y的一些非线性问题，比如xy、y/x呢？等我们学习更多的知识就可解决. 线性规划被誉为20世纪对科学发展和工程实践影响最大的十大算法之一，用处很广，具有很重要的意义. （五）回顾反思，巩固深化

【小结】

我应学会的……

用图解法求最值的方法，作法，注意的问题

我可以感受的……

数形结合、转化思想、换个角度考虑问题、一般与特殊、运动的观点…

我还可以继续学习的……

……

师:整体归纳一个字:hua—画：画图

--化：转化，例：

实际问题---数学问题；不等式组---平面区域；函数z=2x+y—方程z=2x+y；方程z=2x+y—直线y=-2x+z；

变（直线y=-2x+z上点）---不变（相应2x+y值）

抽象—具体；特殊—一般等，整体体现数形的转化. ---华:升华

【课后反思】

先由学生总结学习的内容.

联系，这样才能真正培养我们的数学学习能力。

学后反思提炼抓住知识的内在联系，使学生学会对知识系统化，培养学生总结反思问题的习惯. 教师点睛，总结为一个字“hua”，强化数形结合思想.