阅读与思考 海伦和秦九韶教学设计第二课时

第一届润德原创教案大赛作品

日暖风和开桃李，笔酣墨浓写春秋。

学科：

数学

教案编号：

（此处不用填写）

授课教师

课题

课型

陈小燕

授课日期

2018年3月14日

授课班级

高一四班

解三角形中的求范围及最值问题

巩固提高课

1、知识与技能：

综合应用正弦定理及余弦定理解决解三角形中的求取值范围及最值问题。

2、过程与方法：

三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检测所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用。在求范围的过程中综合应用各个定理解决问题。

3、情感态度与价值观：在分析求解中，建立知识之间的联系，激发学生学习数学的兴趣。

数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算

1、

已知三角形形状，利用余弦定理求三角形边的取值范围；

2、

利用三角函数诱导公式及圆的有关性质，借助正弦定理求三角形面积、周长的最值。

根据三角形内角和定理，判断角的范围、转化三角函数、检测所求角是否符合题意。

学生独立思考与小组讨论相结合，教师讲授与探究相结合

教

学

过

程（此部分表格可以依据学科特点自行设计改动）

教学目标

学科素养

教学重点

教学难点

教学策略

教学环节

一、

复

习

引

入

教师活动

学生活动

设计意图

回顾知识点，在稍后解题会有应用。

复习引入

一、正弦定理及其推论

设△ABC的外接圆半径为R，则

abc

(1)＝＝=2R. sinAsinBsinC

(2)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

abc(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.

2R2R2R

(4)在△ABC中，A>B⇔a>b

⇔sinA>sinB

二、余弦定理及其推论

(1)a2＝b2 +c2-2bccosA，b2 =a2 +c2-2accosB，c2 =a2

学生小组总结，回顾本章+b2-2abcosC. 知识点。

b2＋c2－a2c2＋a2－b2(2)cosA＝；cosB＝；cosC＝

2bc2ca

222a＋b－c

. 2ab

22222(3)在△ABC中，c＝a＋b⇔C为直角；c>a＋

b2⇔C为钝角；c2

三、三角形面积公式

111

(1)S＝aha＝bhb＝chc；

222

第一届润德原创教案大赛作品

日暖风和开桃李，笔酣墨浓写春秋。

二、

典

型

例

题

111(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB. 222

四、三角形内角和定理

由A＋B＋C＝180°可得

sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝-cosC，

A＋BC

tan(A＋B)=-tanC，sin＝cos，

22

A＋BCcos＝sin.

22

典型例题

一、在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c

的取值范围是(

)

A．(1,3)

B．(2,3)

C．(5，3)

D．(22，3)

答案

C

a2＋b2－c2解析

由cosC＝<0，得c2>a2＋b2＝5.

2ab

∴c>5，又c

二、已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则

x的取值范围是________．

答案

(5，13) 学生小组讨论，后展示讨论成果。

1

x应满足2＋3－x>0，22＋x2－32>0，解得5

对同一问题的不同思考方向，不同解决方法，可以拓宽学生的思维，提高学生的数学应用意识。

π三、在△ABC中，A＝，BC＝3，求△ABC周长3的最大值．

解

设AB＝c，BC＝a，CA＝b. 由正弦定理，得abc3＝＝＝＝23. sinAsinBsinCπsin3∴b＝23sinB，c＝23sinC，

a＋b＋c＝3＋23sinB＋23sinC

2π－B

＝3＋23sinB＋23sin3＝3＋23sinB＋2331cosB＋sinB

22

第一届润德原创教案大赛作品

日暖风和开桃李，笔酣墨浓写春秋。

πB＋，

＝3＋33sinB＋3cosB＝3＋6sin6π∴当B＝时，△ABC的周长有最大值9. 3四、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB. (1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．

解

(1)由正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. 得2RsinA＝2RsinBcosC＋2RsinCsinB

即sinA＝sinBcosC＋sinCsinB. 又A＝π－(B＋C)，

∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C) ＝sinBcosC＋sinCsinB，

即sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，

∴cosBsinC＝sinCsinB. ∵sinC≠0，

∴cosB＝sinB且B为三角形内角，

π∴B＝. 412(2)S△ABC＝acsinB＝ac，

24bsinA2由正弦定理，a＝＝×sinA＝22sinA，

sinB22同理，c＝22sinC，

∴S△ABC＝2×22sinA×22sinC

4＝22sinAsinC

3π＝22sinAsin(－A) 433＝22sinA(sinπcosA－cosπsinA) 44＝2(sinAcosA＋sin2A) ＝sin2A＋1－cos2A

π＝2sin(2A－)＋1 4

第一届润德原创教案大赛作品

日暖风和开桃李，笔酣墨浓写春秋。

ππ3π∴当2A－＝，即A＝时，

428S△ABC有最大值2＋1. 五、如图所示，已知半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，OA＝2，点B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，求B在什么位置时，四边形OACB的面积最大．

解

设∠AOB＝α，在△ABO中，由余弦定理，得AB2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，1α∈(0，π)，∴S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OB·sinα＋2π532α－＋3. AB＝2sin344ππ5π5π当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，四边形的3266面积最大．

解三角形的应用举例

课后作业

板书设计

（可粘贴电子照片）

第一届润德原创教案大赛作品

日暖风和开桃李，笔酣墨浓写春秋。

教学反思及改进措施

解三角形中需要正余弦定理灵活应用，求取值范围及最值问题更是正余弦定理应用实践，讲解过程中，可以分类更加清晰，更加明确海伦-秦九韶公式，这样就更加清晰、全面.