1.3 实习作业公开课教案（教学设计）

成都田家炳中学高一数学组

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第一章 解三角形

一、课标要求：在学生已经有的知识基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握边长与角度的数量关系。认识运用解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，进一步提高学生的分析问题，解决问题的能力。

本章学习的主要内容（1）能理解正弦定理的推导过程，体会向量方法的先进；（2）能理解余弦定理的推导过程，进一步体会向量方法的先进（3）能运用上述定理处理三角形中相关问题。（4）学会理论联系实际，处理好本章实习作业，加强对数学应用性的理解

通过本节的学习，培养学生分析问题，解决问题的能力，利用前面三角函数，诱导公式，三角恒等变换等知识的学习，推导出正弦定理与余弦定理，引导学生自主地探索三角形中的相关性质。向量与三角的结合时本章的一个重要思想，还可以引导学生利用向量解决一些物理和几何问题。鼓励学生完成实习作业。

二、

编写意图与特色

1、本章的内容分为四节：正定理弦、余弦定理、正余弦定理的应用及其实习作业，在学习本章之前我们学习了向量，三角函数，诱导公式，三角恒等变换的相关知识，降低了学习难度，使学生容易接受；

2、

研究方法：特殊到一般、讲练结合、实习作业

3、

在内容的安排上先学习数学基础知识，然后利用知识解决问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；

三、德育思想：

1、在知识的积累过程中，一定有个循序渐进的过程；就如我们在日常的学习中，也必须注意从小事情入手，加强点滴积累，养成良好习惯，成为有高尚情操的人。

2、在讲正、余弦定理时注重数学界名人的介绍，如海伦、帕斯卡、阿基米德、秦九韶等中外名人，给学生树立榜样，形成一种不怕吃苦的学习品质！

四、教学内容及课时安排建议

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

1.1正弦定理、余弦定理

约3课时

1.2应用举例

约4课时

1．3实习作业

约1课时

德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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正弦定理

二、

教学内容分析：

1、

探索正弦定理的由来，并从探索中逐步领会正弦定理的运用。

2、

能应用正弦定理解斜三角形，解决部分实际问题。

3、

让学生具备探索的心理，通过小组合作，进一步学生的全局意识。

二、

学生学情分析：

各班的学生情况参差不齐，由于有很多学生还习惯填鸭式教学，因此这节课的探索一定要学生自己动手，并由学生归纳、总结。并且老师在适当的时候渗透德育思想。

三、教学目标分析：

这节课是正弦定理的第一节课，我们需注重和前面的知识进行联系，多启发，多和学生共同探讨，让学生养成一种勇于探索，勇于发现的精神。

四、教学重难点：

1、重点：正弦定理。

2、难点：正弦定理的形成过程及其多解的情况。

五、教学过程设计：

（一）导入：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？

——提出课题：正弦定理

（二）探讨过程：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等：

即abc==

=2R（R为△ABC外接圆半径）

sinAsinBsinC

通过这儿的学习，我们将培养学生学会一种探索的精神，要从细节入手，找寻知识的生成点，要有一种探索、创新的态度看待问题。

1．直角三角形中：sinA=即c=ab

，sinB=，

sinC=1

ccabc，

c=

，

c=．

sinAsinBsinCabc==

sinAsinBsinC∴2．斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

S△ABC=111absinCacsinBbcsinA

222CabAOBD1abc

两边同除以abc即得：==

2sinAsinBsinC证明二：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

c德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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∴aabcCD2R

同理

=2R，＝2R sinBsinCsinAsinD证明三：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC

由

AC+CB=AB

两边同乘以单位向量j

得

j•(AC+CB)=j•AB

则j•AC+j•CB=j•AB

∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A) ∴asinCcsinA

∴ac=

sinAsinCcbabc=

∴==

sinCsinBsinAsinBsinC同理，若过C作j垂直于CB得：

正弦定理的应用

从理论上正弦定理可解决两类问题：

（这儿我们需让学生学会归纳、总结的思想，我们研究一个问题的目的是要学会应用，那么应如何应用，应用在哪儿，这是我们共同需要注重的！我们在注重通行通法时一定要善于思考我们的出发点及目的）

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时: 无解absinA  一解(直角)absinA

bsinAab 二解(一锐,

一钝)ab 一解(锐角)已知边a,b和ACaAHa

⑵若A为直角或钝角时:ab 无解ab 一解(锐角)

（引导学生领会我们在学习过程中明白内涵，我们不仅仅只是停留在掌握这种题，这种解题德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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方法，我们还需掌握其内涵，把握事物的本质）

（三）例题讲解

例1 已知在ABC中，c10,A450,C300,求a,b和B

解：c10,A450,C300∴B1800(AC)1050

accsinA10sin450bc102由得

a由得

0sinAsinCsinBsinCsinCsin30csinB10sin1050620b20sin75205652

0sinC4sin30（从简单问题入手，充分培养学生的自信；并且可以让学习变得更轻松，从而使数学的教学更具亲和力）

例2

在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

bccsinB1sin6001解：∵,sinC

sinBsinCb23bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900∴ab2c22

（鼓励学生注意问题的全面性，考虑细节；无论学习或者生活中我们都应该思维的严谨性，养成一种良好的学习生活习惯）

例3（选讲）

ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA6sin4503解：

,sinCsinAsinCa22csinAac,C600或1200

csinB6sin750当C60时，B75,b31，

sinCsin60000csinB6sin150当C120时，B15,b31

0sinCsin6000b31,B750,C600或b31,B150,C1200

例4（选讲）

已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC

分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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故可利用正弦定理将所证继续转化为ABADBCDC,，再根据sinABDsinABDsinBDCsinDBC相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论

证明：在△ABD内，利用正弦定理得：

ABADABsinADB即

sinADBsinABDADsinABD在△BCD内，利用正弦定理得：

BCDCBCsinBDC,即.

sinBDCsinDBCDCsinDBC∵BD是B的平分线∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC

∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC

∴ABsinADBsinBDCBCABAD∴

ADsinABDsinDBCCDBCDC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用。

四、课堂练习：

abck,则k为(

)

sinAsinBsinC1A2R

BR

C4R

DR(R为△ABC外接圆半径) 21、在△ABC中，2、△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为(

)

A

BC等边三角形

D等腰三角形

3、在△ABC中，求证：参考答案：1A，2A cos2Acos2B11

2222abab3、absinAsinBsinA2sinB2)()

(sinAsinBabab1cos2A1cos2Bsin2Asin2B

a2b2a2b2cos2Acos2B11

2222abab五、小结 正弦定理，两种应用；我们在讨论正弦定理的时候，要纵观全局，把握细节；因而我们在考虑问题的时候一定要全面，要有大局意识；小到个人，中到班级、学校，大到中国的教育，我们必须树立全局观，个体利益服从整体利益。

六、课后作业：

1在△ABC中，已知sinAsin(AB)222，求证：a，b，c成等差数列

sinCsin(BC)证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）

cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C

21cos2B1cos2A1cos2B222∴2sinB＝sinA＋sinC222222222

由正弦定理可得2b＝a＋c即a，b，c成等差数列

德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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§1.2余弦定理

一、教学目标

1．掌握正弦定理、余弦定理；

2．使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题

二、教学重、难点

1. 教学重点：余弦定理

2. 教学难点：余弦定理的形成过程

三、学法与教学用具

学法：启发式教学

四、教学设想：

（一）复习式导入：1正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，

即

abc==

=2R（R为△ABC外接圆半径）

siAnsinBsinC2正弦定理的应用

从理论上正弦定理可解决两类问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: 无解absinA  一解(直角)absinA ⑴若A为锐角时:

bsinAab 二解(一锐,

一钝)ab 一解(锐角)已知边a,b和ACaAHa

⑵若A为直角或钝角时:ab 无解ab 一解(锐角)222

3．在Rt△ABC中(若C=90)有：cab

在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？

二、讲解新课：

1．余弦定理

：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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b2c2a2即

abc2bccosAcosA

2bc222c2a2b2bca2accosBcosB

2ca222a2b2c2cab2abcosCcosC

2ab222[问题]

对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？

[推导] 如图在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b

∵ACABBC

∴ACAC(ABBC)(ABBC)

CbA2acBAB2ABBCBC

AB2|AB||BC|cos(180B)BC

222c22accosBa2

即b2c2a22accosB

同理可证

abc2bccosA，cab2abcosC

2．余弦定理可以解决的问题

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

我们不仅要有整体意识，还要有不断发展的观点，就如我们学习了正弦定理，那么我们还需探索有没有余弦定理？如何探索？我们要成为学习的主人，而不是学习的奴隶。那么生活中也应该如此，我们要如何成为生活的主人，每个人都值得思考！

222222三、讲解范例：

例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C

b2c2a2a2b2c2解：∵ cosA

＝0725， ∴ A≈44°∵ cosC＝2bc2ab08071， ∴ C≈36°,∴ B＝180°－(A＋C)≈100°

(∵sinC＝

csinA≈05954,∴ C ≈ 36°或144°(舍)) a例2在ΔABC中，已知a＝2730，b＝3696，C＝82°28′，解这个三角形

b2c2a2解：由

cab2abcosC，得

c≈4297∵ cosA≈07767，

∴ A2bc222≈39°2′,∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′

德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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(∵sinA＝

asinC≈06299，∴ A=39°或141°(舍)) c例 3 ΔABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A

22解法一：∵ |AB| ＝[6(2)](58)73

B876|BC| ＝(24)(81)2285

5A422|AC| ＝(64)(51)25

321cosAABACBC2ABAC222C2468=2365-4-2 ∴ A≈84°

解法二：∵

AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4)

∴ cosA＝ABAC(8)(2)3(4)2=,∴ A≈84°

ABAC7325365例4

设a=(x1, y1)

b=(x2, y2)

a与b的夹角为

（0≤≤），

求证：x1x2+ y1y2=|a||b|cos

证明：如图，设a, b起点在原点，终点为A，B 则A=(x1, y1)

B=(x2, y2)

AB=ba

在△ABC中，由余弦定理

2222|ba|=|a|+|b|2|a||b| cos∵|ba|=|AB|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2

222222222222|a|=x1+y1

，|b|= x2+y2

∴(x2-x1)+( y2-y1)= x1+y1+ x2+y22|a||b| cos

∴x1x2+ y1y2=|a||b|cos

即有a•b= x1x2+ y1y2=|a||b|cos

四、课堂练习：

1在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为(

)

A直角三角形

BCD等边三角形

2在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为

；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为

3在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为

4在△ABC中，BC=3，AB=2，且sinC2(61)，A=

sinB5

参考答案：

1C

23等腰三角形

4120

五、小结 余弦定理及其应用，要有不断探索进取的心，要在生活中做个主人，那么我们在学校中必须从小事做起，比如遵守校纪校规，一定需注意，一屋不扫，何以扫天下！

六、课后作业：

德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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1在△ABC中，证明下列各式：

222222（1）（a－b－c）tanA＋（a－b＋c）tanB＝0 cos2Acos2B11.

2222ababsinAsinB222(a2b2c2)证明：(1)左边＝（a－b－c）

cosAcosB(2) a2bcb2ac2222(abc)2Rbc2a22Ra2c2b22abc(b2c2a2)a2c2b2

2222222Rbcaacb(a2b2c2)abc(11)0右边R故原命题得证

12sin2A12sin2B(2)左边2ab2112sin2A2sin2B (22)2222ab(2R)sinA(2R)sinB11221122右边2222ab(2R)(2R)ab故原命题得证

2A，试判断此三角形的类型21cosA2A解：∵sinB·sinC＝cos, ∴sinB·sinC＝

222在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］

将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得

cosBcosC＋sinBsinC＝1, ∴cos（B－C）＝1

又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π∴B－C＝0 ∴B＝C

故此三角形是等腰三角形

3在△ABC中，bcosA＝acosB试判断三角形的形状

解法一：利用余弦定理将角化为边

∵bcosA＝acosB2222b2c2a2a2c2b2a,∴b·

2bc2ac2222∴b＋c－a＝a＋c－b,∴a＝b,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形解法二：利用正弦定理将边转化为角∵bcosA＝acosB

又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB

∴sinAcosB－cosAsinB＝0∴sin（A－B）＝0

∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0 即A＝B

故此三角形是等腰三角形

德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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§1.2正弦定理、余弦定理

一、教学目的：

1进一步熟悉正、余弦定理内容；

2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；

3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；

4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式

二、教学重、难点：

教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向

教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求三、学法与教学用具

讲练结合、多媒体、实物投影仪

教学方法：启发引导式

1、启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；

2、引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用

教学过程：

一、复习引入：

正弦定理：abc2R

sinAsinBsinC222b2c2a2余弦定理：abc2bccosA,cosA

2bcc2a2b2

bca2cacosB,cosB2ca222a2b2c2

cab2abcosC，cosC

2ab222二、讲授新课：

1正余弦定理的边角互换功能

对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决

正、余弦定理的相互转化，就如我们在学校中我们是学生，在家里是父母的儿、女，我们要时常做好自身角色的转换，做好每个角色，在每个角色中都成为佼佼者！

例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且解：∵sinA2AB，求的值

sinB3BabsinAasinA3,,又(这是角的关系)，

sinAsinBsinBbsinB2德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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∴a3ab325

(这是边的关系)于是，由合比定理得.

b2b22例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列

求证：sinA＋sinC＝2sinB

证明：∵a、b、c成等差数列，

∴a＋c＝2b(这是边的关系)①

abcbsinA,a②

sinAsinBsinCsinBbsinCc③

sinBbsinAbsinC2b整理得sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系)

将②、③代入①，得sinBsinB又2正、余弦定理的巧用

某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：

例3求sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°的值

解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°

∵20°＋10°＋150°＝180°，

∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角

设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcos150°＝c2（※）

而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：

sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝∴原式＝1

41

4例4在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长(sin22sincos)

分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中sin22sincos利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的

*解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ，又设最小角为α，则

xx2x2x2 ,cos①

sinsin22sincos2x又由余弦定理可得ｘ＝（ｘ＋1）＋（ｘ＋2）－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cosα

2将①代入②整理得：ｘ－3ｘ－4＝0

解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)

所以此三角形三边长为4，5，6

评述：

此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程222例5已知三角形的一个角为60°，面积为103cｍ，周长为20cｍ，求此三角形的各边长2分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝1absinC表示面积，其三是周长条件应用2

解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得

a2c2b2cos602acabc202122acsin60103bacac ac402abc202222①

②

③

由①式得：b＝［20－（a＋c）］＝400＋a＋c＋2ac－40（a＋c） ④

将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0再将③代入得a＋c＝13

由a15a28ac13 ∴b1＝7，b2＝7解得或ac40c18c25

所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ

评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用

(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力

三、课堂练习：

1在△ABC中，已知B=30°,b=503,c=150，那么这个三角形是(

) ABC

D等腰三角形或直角三角形

2在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为(

)

A

BC

D等腰直角三角形

3在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，则secA=

4△ABC中，tanAsinA，则三角形为

tanBsinB

5在△ABC中，角A、B均为锐角且cosA＞sinB，则△ABC是

a2b2c2c2且acosBbcosA，试判断△ABC的形状

6已知△ABC中，abc7在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状

参考答案：1D

2A

3

8

45钝角三角形

6等边三角形

7

四、小结 熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断不断创新，不断适应自己的角色，成为生活的强者，成为一个身体，心理都健康发展的人。

五、课后作业：

1在△ABC中，已知sinAsin(AB)，求证：a2，b2，c2成等差数列

sinCsin(BC)德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

成都田家炳中学高一数学组

右手栏

证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）

cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C

21cos2B1cos2A1cos2B

∴2sin2B＝sin2A＋sin2C222

由正弦定理可得2b2＝a2＋c2, 即a2，b2，c2成等差数列2在△ABC中，A＝30°，cosB＝2sinB－3sinC

(1)求证：△ABC为等腰三角形；(提示B＝C＝75°)

(2)设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值

答案：（1）略

（2）1∶3

§1.4正弦定理、余弦定理

一、教学目标1进一步熟悉正、余弦定理内容；

2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；

3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；

4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式

二、教学重、难点

1. 教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向

2. 教学难点：三角函数公式变形与正、余弦定理的联系

三、学法与教学用具

学法：讲练结合、教学多媒体、实物投影仪

四、教学设想：

1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；

2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用

教学过程：

一、复习引入：

正弦定理：abc2R

sinAsinBsinC222b2c2a2余弦定理：abc2bccosA,cosA

2bcc2a2b2

bca2cacosB,cosB2ca222a2b2c2

cab2abcosC，cosC

2ab222二、讲解范例：

德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

成都田家炳中学高一数学组

右手栏

例1在任一△ABC中求证：

a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0

证：左边=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)

=2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边

例2 在△ABC中，已知a3，b2，B=45

求A、C及c

asinB3sin453解一：由正弦定理得：sinA

b22∵B=45<90 即b

∴A=60或120

bsinC2sin7562当A=60时C=75

c

sinB2sin45bsinC2sin1562当A=120时C=15

c

sinB2sin45解二：设c=x由余弦定理

bac2accosB

将已知条件代入，整理：x6x10

解之：x22226262 当c时

2222622)3bca132cosA

从而A=60

，C=75

2bc622(31)222222(当c62时同理可求得：A=120

，C=15

2在学习中注重转换，我们不但要提高自己的学习能力，还需提高自己的生活适应能力，转换思想，你就会在另外一种过程中获得灵感！

例3 在△ABC中，BC=a, AC=b,

a, b是方程x23x20的两个根，且

2cos(A+B)=1 求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积

解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=21 ∴C=120

2德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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（2）由题设：222ab23ab2 ∴AB=AC+BC2AC•BC•osCab2abcos120

22a2b2ab(ab)2ab(23)2210

即AB=10

（3）S△ABC=11133

absinCabsin120222222例4 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135

求BC的长

解：在△ABD中，设BD=x 则BABDAD2BDADcosBDA

即14x10210xcos60 整理得：x10x960

解之：x116 x26（舍去）

由余弦定理：

2222222BCBD16sin3082

∴BCsinCDBsinBCDsin135例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 ; 2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积

解：1设三边ak1,bk,ck1 kN且k1

a2b2c2k4∵C为钝角 ∴cosC0解得1k4

2ac2(k1)∵kN ∴k2或3 但k2时不能构成三角形应舍去

当k3时

a2,b3,c4,cosC1,C109

42设夹C角的两边为x,y xy4 SxysinCx(4x)当x2时S最大=15

1515(x24x)

44例6

在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长

德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

成都田家炳中学高一数学组

右手栏

分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为x，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程2x解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，

2x224()52222ADBDAB2在△ADB中，cosADB＝,

x2ADBD242x42()232222ADDCAC2在△ADC中，cosADC＝.

x2ADDC242BC中点，所以BD、DC可表示为又∠ADB＋∠ADC＝180°

∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC

xx42()25242()23222∴

xx242422解得，ｘ＝2, 所以，BC边长为2

评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型

另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：

由三角形内角平分线性质可得ABBD5，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ACDC3ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA

三、课堂练习：

1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积

解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝1acsinB

2∴SABCacsinBsinBb2R，其中R为三角形外又abc2abc2bsinBSABC1, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1 abc4R接圆半径 ∴所以三角形三边长的乘积为1

评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：

abc2R，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式sinAsinBsinC1Ｓ△ABC＝acsinB发生联系，对abc进行整体求解

2德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

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2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求

AB

解：在△ADC中，

AC2DC2AD272325211,

cosC＝2ACDC27314又0＜C＜180°，∴sinC＝53

14在△ABC中，ACAB

sinBsinC∴AB＝sinC5356AC27.

sinB142评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用

3在△ABC中，已知cosA＝35，sinB＝，求cosC的值513

解：∵cosA＝342＜＝cos45°，0＜A＜π∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝

552∵sinB＝51＜＝sin30°，0＜B＜π∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°

132若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符∴0°＜B＜30° cosB＝

12

133124516

5135136516

65∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝又C＝180°－（A＋B）

∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较

四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力在日常生活中我们总结自己的生活技巧，让自己生活的更高兴快乐！那么我们从小事做起，从常规做起，成为人人喜爱的学生！有兴趣的同学可以在本节课后看看什么是海伦公式，并想想你能证明吗？同学们可以追寻阿基米德的足迹、在《数学九章》领略秦九韶风韵，让我们踩在巨人的肩膀上，做一个不怕苦、不怕累的勇敢的追随者吧！

五、课后作业：

六、课后记及备用资料：

1正、余弦定理的综合运用

德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：

成都田家炳中学高一数学组

右手栏

余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：

222sinA＝sinB＋sinC－2sinBsinCcosA

这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之

［例1］在△ABC中，已知sinB－sinC－sinA＝3sinAsinC，求B的度数

222解：由定理得sinB＝sinA＋sinC－2sinAsinCcosB，

∴－2sinAsinCcosB＝3sinAsinC

222∵sinAsinC≠0 ∴cosΒ＝－223 ∴B＝150°

2［例2］求sin10°＋cos40°＋sin10°cos40°的值

22解：原式＝sin10°＋sin50°＋sin10°sin50°

222在sinA＝sinB＋sinC－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，

则A＝120°

222sin120°＝sin10°＋sin50°－2sin10°sin50°cos120°

＝sin10°＋sin50°＋sin10°sin50°＝（22323）＝

42［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状

2解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sinA，

222222由定理得sinA＋sinC－sinΒ＝sinA，∴sinC＝sinB∴B＝C

故△ABC是等腰三角形

2一题多证

［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形

证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝bsinA

sinB∴2bcosC＝bsinA，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC

sinB∴sinBcosC－cosBsinC＝0 即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）

∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，

又∵a＝2bcosC又∵∴2bcosC＝bcosC＋ccosB

∴bcosC＝ccosB，即bcosB.

ccosCbsinBsinBcosB.∴,即tanB＝tanC

csinCsinCcosC∴△ABC为等腰三角形∵B、C在△ABC中，∴B＝C

a2b2c2aa2b2c2a及cosC,∴,

证法三：∵cosC＝2ba2b2ab2b化简后得b＝c22∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形

德育思想渗透：

二次备课：

课后反思：