小结第一课时教学实录

3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)

福清元洪高级中学

数学组 施经贤

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）从实际情境中抽象出简单的二元线性规划问题. （2）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念. （3）理解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值. 2、过程与方法：经历探求线性目标函数最优解的过程，体会由特殊到一般和数形结合的思想方法，掌握求线性目标函数最优解的步骤。

3、情态、态度与价值观：体验数形结合、化归的数学思想，收获探究活动的乐趣。

二、教学重、难点：

教学重点：1、画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优；

2、解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。

教学难点：1、在引例中建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；

2、在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。

三、教学过程

温故：

xy20xy40表示的平面区域。

画出不等式组 x5y20

【设计意图】通过该练习题复习上节课的主要知识，本题也是本节例题与练习题讲解最优解的线性约束条件，这样会引得更多时间讲解本节重点内容

（一）设计问题,创设情境

问题情境:在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题. 例如,某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品,两种产品所需配件、耗时、利润如下表: 产品

甲产品

乙产品

所需配件及数量

A配件4个

B配件4个

耗时(小时/件) 1 2 1 利润(万元/件) 2 3

该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算

问题：怎样安排生产才能使利润最大? 【设计意图】从实际情境中抽象出简单的二元线性规划问题，让学生体验简单的二元线性规划问题来源于生活实际，并提高数学建模能力和意识。

（二）讲解“简单的线性规划问题”的相关概念

线性约束条件：关于变量

x、y 的一次不等式组

目标函数：求最大值或求最小值的的函数

线性目标函数：因为它是关于变量

x、y 的一次解析式

线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

可行解：满足线性约束的解（x，y）

可行域：由所有可行解组成的集合

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题

（三）：例题分析

例：已知

x、y 满足条件：

x



y



2



0

求

z=4x-2y 的最大值和最小值

xy40

x5y20

【设计意图】引例中目标函数z2x3y中，

当b30时，z与目标函数的纵截距同号，截距越大，目标函数z也越大；该例题选择目标函数z4x2y，当b30时，z与目标函数的纵截距异号，截距越小，而目标函数z越大。

解线性规划问题的步骤：

（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域

（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线

（3）求：通过解方程组求出最优解

（4）答：作出答案

（四）课堂练习

2

解下列线性规划问题：

xy20

已知

x、y 满足条件：



xy40x5y20

（1）求

z=4x+2y 的最大值和最小值

（2）求

z=-4x+2y 的最大值和最小值

（3）求

z=-4x-2y 的最大值和最小值

（4）求

z=2x+2y 的最大值和最小值

【设计意图】线性约束条件与“温故练习题相同”，为了引得时间；四个小题要求四个小组各完成一题，这样既能让学生学的新知得到巩固，通过分享各小组成果又能体会如下结论

体会：目标函数为

zaxby的线性规划取得最优解问题

（1）当b0，即Z与b同号时，

则直线axby0向上移，Z取得最大；向下移，Z取得最小。

（2）当b0即Z与b异号时，

则直线axby0向下移，Z取得最大；向上移，Z取得最小。

思考1：解决前面引例问题

xy10思考2：已知

x、y 满足条件：

2xy202xy20

且

z=x+ay 的最大值为15，求实数a的值

温馨提醒：最优解一般在可行域的顶点处取得，有时也可能在边界取得。

（五）课堂小结

1、线性规划的相关概念

2、如何求线性目标函数zaxby的最优解

“画、移、求、答”

（六）作业布置

作业：书P91：

第1题（2）

册P69：（基础

）2、6、8 练习：册P68：

例1，变1

册P69：（基础

）1、3、4、5、7 （能力）1、2、3

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