3.三个正数的算术-几何平均不等式名师教学视频（文字实录）

2017-2018学年高二数学学科导学案 使用时间：2018年

月 日 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价： 课题：三个正数的算术—几何平均不等式 编写人：马辉 审核人：高立会 审批人： 【学习目标】

（1）理解并掌握重要的基本不等式; （2）理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; （3）初步掌握不等式的应用

【学习重点】理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 【学习难点】利用不等式解决实际应用问题

例1 求函数y2x解一:y2x223,(x0)的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法. x3111232x2332x2334.

∴ymin34．

xxxxx33123312232解二:y2x22x26x当2x即x时, ymin262331226324．

xxx222正解:



课前学习

知识回顾

1．定理1 如果a,bR, 那么ab2ab. 当且仅当ab时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果a,bR22

ab. ab, 那么2

当且仅当ab时, 等号成立. 讨论: ⑴给图如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗? ⑵怎样用语言表述基本不等式? ⑶在应用基本不等式时要注意什么? 推论1. 两个正数的算术平均数2ab 0ab, 几何平均数2ab, 平方平均数 , 例2用一块边长为a的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖

的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？

调和平均数ab，从小到大的排列是: 探究：类比基本不等式：如果a,bRab, 那么2ab.当且仅当ab时, 等号成立. 如果a,b,cR,那么 .当且仅当 时, 等号成立. 新知：

问题：已知a,b,cR, 求证：abc3abc.当且仅当abc时, 等号成立.

证明:

定理3

如果a,b,cR, 那么333

abc3abc, 当且仅当abc时, 等号成立. 3

定理3的国语表述:

推论

对于n个正数a1,a2,

基础练习

1.函数y3x,an, 它们的

即

当且仅当abc时, 等号成立. 12(x0)的最小值是

2x

课中学习

A、6

B、66

C、9

D、12

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2017-2018学年高二数学学科导学案 使用时间：2018年

月 日 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价： 2.函数y4x216(x21)2的最小值是



课后检测

1.函数yx4(2x2)(0x2)的最大值是

A、0

B、1

C、1627

D 3227

2. 若a,bR且ab,则a1(ab)b的最小值为

3. 若x,yR,xy24则x2y的最小值是

A、4

B、334

C、6

D、64

4.已知a,b,cR,且abc1,则111abc的值不小于_____

5. a,b,cR,求证(abc)(1ab1bc1ca)

6.设M(1a1)(1b1)(1c1)且abc1(a,b,cR),则M的取值范围是( A.0,18 B.118,1 C.1,8 D8,

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