复习参考题ppt配用优秀获奖教案

2018年理数第一轮复习：正态分布

1.正态分布

1f(x)e（1）我们称2(x)222(xR)[其中,(0)为参数]的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. （2）一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足P(aXb)baf(x)dx，那么称X的分布为正态分布，正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(,2)。如果随机变量X服从正态分布，记作X:N(,2)。,分别表示总体的平均数（期望值）与标准差。

（3）当0，1时正态分布叫做标准正态分布，记作X:N(0,1)。

2.正态曲线的特点

（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的，关于直线__________对称. 1（3）曲线在x处达到峰值2

（4）曲线与x轴之间的面积为_____. （5）当一定时，曲线随的变化沿x轴平移. （6）当一定时，曲线形状由确定：曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；越大，越_____，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中.

3. 3原则

（1）P(X)0.6826； （2）P(2X2)0.9544；

（3）P(3X3)0.9974。

题组一：重难点突破——旧知回顾

1.正态曲线下、横轴上，从均值到＋∞的面积为（ ）

A.0.95 B.0.5 C.0.975 D.不能确定(与标准差的大小有关) 2.(2015年山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,

32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(

) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(,2)，则P(X)0.6826，P(2X2)0.9544.) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 3.设两个正态分布N(1,1)(10)和N(2,2)(20)的密度函数图像如图，则有（

）

A．12,12 B．12,12

C．12,12 D．12,12

4．(2015年广东湛江一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a

(正态分布)- 1 - 22

的值为(

) 75A.

B.

C．5

D．3 335．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝(

) A．0.16

B．0.32

C．0.68

D．0.84 6．(2015年湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(

) A．2386

B．2718

C．3413

D．4772

题组二：重难点突破——综合问题

例：（2017年全国Ⅰ卷第19题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)．

（Ⅰ）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；

（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.26 10.12 9.91 9.96 9.96 10.01 9.22 9.92 9.98 10.04 9.95 10.13 10.02 10.04 10.05 116116116222xi9.97，s经计算得x其中xi(xx)(x16x)0.212，ii16i116i116i1为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．

ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用估计值判断是用样本平均数x作为的估计值ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据，用剩下的数据估计和否需对当天的生产过程进行检查？剔除(（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(3Z3)0.997 4，

0.997 4160.959 2，0.0080.09．

(正态分布)- 2 -

题组三：课后巩固

1.已知随机变量

X 服从正态分布N，且

P(X>1)＝0.5，则实数

a 的值为（ ）

（a,4）A.1 B.3 C.2 D.4

2．某地区高二女生的体重X(单位：kg)服从正态分布X～N(50,25)．若该地区共有高二女生2000人，则体重在50 kg～ 65 kg间的女生共有的人数是( ) A．683人 B．954人 C．997人 D．994人

3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>3)＝0.023，则P(－3≤ξ≤3)＝(

) A．0.477

B．0.628

C．0.954

D．0.977

14．设随机变量ξ服从正态分布N( μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是，则μ＝(

) 2A．1

B．4

C．2

D．不能确定

5．某个部件由三个元件按右图的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．

6．(2016年江西南昌模拟)某市教育局为了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．

(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]各有一位同学的概率；

(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

(正态分布)- 3 -

7.（2014年全国Ⅰ卷第18题）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,)，其中近似为样本平均数x，近似为样本方差222s2. (i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；

（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用（i）的结果，求EX. 附：15012.2，

若Z～N(,)，则P(Z)0.6826，P(2Z2)0.9544.

(正态分布)- 4 - 2

正态分布参考答案：

题组一：1、B

2、B

3、A

4、A

5、A

6、C

题组二：【解】（Ⅰ）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为0.0026，故X~B(16,0.0026).因此

P(X1)1P(X0)10.99740.0408. X的数学期望为EX160.00260.0416. （Ⅱ）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的. ˆ0.212，由样本数据ˆ9.97，的估计值为（ii）由x9.97,s0.212，得的估计值为ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除可以看出有一个零件的尺寸在(ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为(估计值为10.02. 1(169.979.22)10.02，因此的15xi1162iˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剩下数据160.2122169.9721591.134，剔除(1(1591.1349.2221510.022)0.008，

15因此的估计值为0.0080.09.

的样本方差为

题组三：1、A

2、C

3、C

4、B

5、16、解：(1)由X～N(80，σ2) ，知P(X≤80)＝. 2又P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，

则P(80≤X＜85)＝P(75≤X≤80) ＝P(X≤80)－P(X＜75)＝0.2. P(85≤X＜95)＝P(X＞85)－P(X≥95)＝P(X＜75)－P(X≥95)＝0.2，

故所求事件的概率p＝0.2×0.2×0.1×A33＝0.024. (2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，

所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，

(正态分布)- 5 - 3

8

P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，

2P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.6＝0.432，

2P(ξ＝2)＝C23×0.4×0.6＝0.288，

P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，

所以随机变量ξ的分布列为

ξ

P E(ξ)＝3×0.4＝1.2.

7、【解析】 (Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s分别为

20

0.216

1

0.432

2

0.288

3 0.064 x1700.021800.091900.222000.33

2100.242200.082300.02200s2300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z～N(200,150)，从而

222222 P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.6826 （ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826 依题意知XB(100,0.6826)，所以EX1000.682668.26. 【考点分析】本题主要考查频率分布直方图，正态分布和二项分布的期望.考查了数据处理能力以及应用意识，属基础题.

(正态分布)- 6 -