二 一般形式的柯西不等式教案3

一般形式的柯西不等式

一、教学目标

1.

理解三维形式的柯西不等式

2.

学会一般形式的柯西不等式

二、教学重难点

1.

教学重点：三维形式的柯西不等式几一般形式的柯西不等式的理解和应用

2.

教学难点：一般形式的柯西不等式的理解和应用

三、教法学法

自主，合作，探究

四、本节结构图

一般形式的柯西不等式

复习练习一般形式介绍举例分析课堂练习本课小结作业:课本P第1、2、3题

41五、教学过程

复习二维形式的柯西不等式22(a12a2)(b12b2)(a1b1a2b2)2当且仅当a1b2a2b1时，等号成立做题方法：不能直接利用定理时，常常将定值拆项、配项的技巧。二(a2a2)(b2b2)(abab)212121122维形上一节课，我们认识了二维形式的柯西不等式，运用该a1b2a2b1时，等号成立式当且仅当不等式可以求一些最值及证明一些不等式. 的下面我们来做几个巩固练习: 柯已知a,b为任意实数,求证:(a4b4)(a2b2)≥(a3b3)2

西1.yxxy()不

1xyyxxy(xyy)(xxy)xyy(xy)xyx(xy)22xy等2.

设x,yR,求证: 2≥1

12式yyxxyx222112x,y(当) 3.已知x2y1,求xy的最小值.

5551(12)(xy)(x2y)1,(xy)

22

2222222

5112(

x12,y12)

4.设x,yR,且x+2y=36,求的最小值．4y121291x(x2y)()(12)9,()23(x0)

5.求函数y21x2x1的最大值. 222x2x1(212)(22x2x1)3222xyxy364

探究:从平面向量的几何背景能得到≥,将平面向量的坐标代入,化简后得二维形式的柯西不2222等式:(a1a2)(b1b2)≥(a1b1a2b2)2,当且仅当a1b2a2b1时,等号成立.

类似地,从空间向量的几何背景也能得到≥,将空间向量的坐标代入,化简后

得三维形式的柯西不等式: 2222(a12a2a3)(b12b2b3)≥(a1b1a2b2a3b3)2, 当且仅当,共线时,等号成立.即0,或存在一个实数k,使得aikbi(i1,2,3)时,等号成立. 根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不结论等式吗？猜想并证明

猜想柯西不等式的一般形式22222(a1a2an)(b12b2bn)≥(a1b1a2b2anbb)2②222分析：设Aa1a2an，Ba1b1a2b2anbn构造二次函数22Cb12b2bn，不等式②就是AC≥B2222f(x)(a1a2an)x22(a1b1a2b2anbn)x22 (b12b2bn)又f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)20∴二次函数fx的判别式△≤0, 222即4(a1b1a2b2anbn)24(a12a2an)(b12b22bn)≤0

定理(一般形式的柯西不等)式设a1,a2,a3,,an,b1,b2,b3,,bn是实数,则22(a1a222an)(b12b22bn)≥(a1b1a2b2anbb)2当且仅当bi0(i1,2,,n)或存在一个数k,使得aikbi(i1,2,,n)时,等号成立。同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景，其应用广泛。

总结1．三维形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则

222222(a

b

1＋a

b

2b3)(a1＋a2

2

＋

a

3

，当且

2＋a3)(b1＋b2＋b3)≥

1仅当

b

i＝

0(

i＝

1,2,3)

或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立．

2．一般形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，22222(a1b1＋a2b2＋…则(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥

＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2…n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．

[研一题][例1]

设a，b，c为正数，且不全相等．

2229求证：＋＋>. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c

[精讲详析]

本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解1，a＋b答本题需要构造两组数据a＋b，b＋c，c＋a；11，，然后利用柯西不等式解决．

b＋cc＋a构造两组数a＋b，b＋c，c＋a；则由柯西不等式得

111，，，a＋bb＋cc＋a111(a＋b＋b＋c＋c＋a)(＋＋)≥(1＋1＋1)2，①

a＋bb＋cc＋a111即2(a＋b＋c)(＋＋)≥9，

a＋bb＋cc＋a于是2229＋＋≥. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a＋bb＋c＝＝11a＋bb＋cc＋a⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c. 1c＋a因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，

2229于是＋＋>. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c

[悟一法]柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．

a2b2c21．设a，b，c为正数，求证：b＋c＋a≥a＋b＋c. a2b2c2证明：∵(b＋c＋a)(a＋b＋c) abc＝[()2＋()2＋()2]·[(b)2＋(c)2＋(a)2] bcaabc≥(·b＋·c＋·a)2＝(a＋b＋c)2，

bca222abc即(b＋c＋a)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，

[通一类]又a，b，c∈R＋，

∴a＋b＋c>0，

a2b2c2∴b＋c＋a≥a＋b＋c. [研一题][例2]

设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6 的最大值．

[精讲详析]

本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号．

根据柯西不等式

120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥(1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)2，

故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230. 当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，

372822即x＝，y＝，z＝时等号成立，

6915此时umax＝230. [悟一法]利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[通一类]2．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求4a＋1＋4b＋1

＋4c＋1的最大值．

解：由柯西不等式，得

(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)2

＝(1×4a＋1＋1×4b＋1＋1×4c＋1)2

≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1) ＝3[4(a＋b＋c)＋3]＝21. 1当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．

3故4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值为21.

[研一题]1x＋2x＋…＋n－1x＋a·nx[例3]

设f(x)＝lg，若

n0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求证：f(2x)≥2f(x)．

[精讲详析]

本题考查柯西不等式、综合法、分析法在证明不等式中的应用，解答本题的关键是将f(2x)≥2f(x)具体化，然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法．

12x＋22x＋…＋n－12x＋a·n2x∵f(2x)＝lg，

n∴要证f(2x)≥2f(x)，

只要证

12x＋22x＋…＋n－12x＋a·n2xlg≥

n1x＋2x＋…＋n－1x＋a·nx2lg，

n12x＋22x＋…＋n－12x＋a·n2x即证

n1x＋2x＋…＋n－1x＋a·nx2

≥[]n

(*) 也即证n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]

≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，

∵

0≤a≤1，∴a≥a2，根据柯西不等式得

n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x] ≥12＋12＋…＋12{(1x)2＋(2x)2＋…＋[(n－1)x]2＋(a·nx)2} n个≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，

即(*)式显然成立，故原不等式成立．

[悟一法]对于较复杂的证明问题，可采用“分析法”进行“抽丝剥茧”，从而找到柯西不等式的结构特征．[通一类]3．已知a1，a2，…，an都是正实数，且a1＋a2＋…＋an＝1. 22an－1a2a2an112

求证：＋＋…＋＋≥. a1＋a2a2＋a3an－1＋anan＋a12证明：根据柯西不等式，得

a2a2a2a2n－112n左边＝＋＋…＋＋

a1＋a2a2＋a3an－1＋anan＋a1＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＋(an＋a1)]×

a1a2a3222＋＋＋

a1＋a2a2＋a3a3＋a4

…＋an－1an221＋×

an－1＋anan＋a12＝[(a1＋a2)2＋(a2＋a3)2＋…＋(an－1＋an)2＋( an＋a1)2]×

an－1a1a2222＋＋…＋a＋a

a1＋a2a＋a23n－1n＋an21×≥

an＋a12

a1＋a2×a1a2a＋a×＋＋…＋

23a1＋a2a2＋a3

an－1ana＋a×21an－1＋an×n1×2＝an＋a1an－1＋an11(a1＋a2＋…＋an)2×＝＝右边．

22∴原不等式成立．

课外练习: 1在ABC中,设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R,求证:(a2b2c2)(111)36R2222sinAsinBsinC2.设a,b,c为正数,且abc1,111100求证:(a)2(b)2(c)2abc33.若n是不小于2的正整数,试证:4111112172342n12n2作业:课本P41第1、2、3题

4.设a,b,cR,且满足abc1,试证明:1a3(bc)1b3(ac)1c3(ab)32