3.1.2 复数的几何意义教学内容概述

教学设计

第三章 数系的扩充和复数的引入

3.1.2 复数的几何意义

基本信息：

学校

课名

学科（版本）

学时

宣城市第三中学

复数的几何意义

人民教育出版社

一课时

教师姓名

章节

年级

孙亚琪

数系的扩充和复数的引入

高二

学习者分析：

本班为宣城市第三中学高二年级十三班，班级学生共39名，其中男生13人、女生26人。本班学生上课都能认真听讲，课堂学习积极性高，参与性强，因此本课教学中自主探究、合作交流、上黑板演示解题过程等环节，学生都能规范进行。本课主题是复数的几何意义，对本班学生的思维能力、知识迁移能力和做题规范及运算能力都有综合性提高。

三维目标：

1.知识与技能

(1) 理解复数与复平面内的点之间的一一对应关系。

(2) 理解复数与平面向量之间的一一对应关系。

(3) 分析复数的几何意义，记住复数的模的概念，并掌握复数模的几何意义。

2.过程与方法

培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．

3.情感、态度与价值观

培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．

重点、难点：

1.重点：复数的几何意义与复数的模；

2.难点：复数的几何意义。

教学方法：

启发引导式；自主探究、合作交流式。

教学过程：

一、复习回顾，引入新课：

复数的概念

1．复数与复数集

集合C＝{ | }中的数，即形如此

的数叫做复数，其中i叫做 ， 所成的集合C叫做复数集．

2．复数的代数形式

复数通常用z表示，z＝ ，叫做复数的代数形式．其中a与b分别叫复数z的 与 . 数的分类与复数的相等

1．复数的分类

(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则

当且仅当 时，z为实数; 当 时，z为虚数; 当 时，z为纯虚数．

(2)复数集内的包含关系

2．复数相等

a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)的充要条件是 .

二、

新课讲授：（自主探究、合作交流）

复习引入：实数的几何意义：

问：在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示。

类比实数的表示，可以用什么来表示复数？

问题情境（一）：

1.复数的几何意义是什么？为什么?

2.什么是复平面？什么是实轴？什么是虚轴? 问题情境（二）：

1.还有什么量也可以用坐标来表示？

2.复数Z=a+bi的模（绝对值）如何定义？

3.复数Z=a+bi的模（绝对值)的几何意义是什么？

4.实数|a|的绝对值的几何意义是什么？

5.实数的绝对值与复数的模这两个概念的区别与联系是什么？

知识点一：复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．

x轴叫做

，y轴叫做

，虚轴上的点(0,0)不对应虚数．

1．实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？

提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定表示虚数．

事实上，虚轴上的点(0,0)是原点，它表示实数0，虚轴上的其他点都表示纯虚数．

知识点二：复数的两种几何意义

复数z＝a＋bi

复数z＝a＋bi

2．(1)在复平面中，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点是Z(a，bi)吗？

(2)复平面中，复数与向量一一对应的前提条件是什么？

课堂练习：1、2（提问并在方格纸中作出复数对应的点）

知识点三：复数的模

、

→向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作

或

，

即|z|＝|a＋bi|＝

.

3．(1)复数的模一定是正数吗？

(2)若复数z满足|z|＝1，那么在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？

提示：(1)不一定，复数的模是非负数，即|z|≥0，当z＝0时，|z|＝0；

反之，当|z|＝0时，必有z＝0. (2)点Z的轨迹是以原点为圆心，半径等于1的一个圆．

特别关注：

1．对复数几何意义的理解

(1)复数集中的复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．

→

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与平面向量OZ＝(a，b)也是一一对应的．

(3)注意z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量的起点必须为原点，

→

因为复平面内与OZ相等的向量有无数个．

2．复数与其对应的点的关系

复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，

实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上．

三、典型例题：

类型一：复数与复平面内点的对应关系

a2－a－62【例1】

求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a－2a－15)I (a∈R)对应的点Za＋3满足下列条件：

(1)在复平面的第二象限内；

(2)在复平面内的x轴上方；

(3)在直线x＋y＋7＝0上．

【解】

(1)点Z在复平面的第二象限内，则

a－a－6<0，a＋3a2－2a－15>0，2

解得a<－3. a－2a－15>0，(2)点Z在x轴上方，则a＋3≠0，2

即(a＋3)(a－5)>0，解得a>5，或a<－3. (3)点Z在直线x＋y＋7＝0上，

a2－a－62∴＋a－2a－15＋7＝0，

a＋3即a＋2a－15a－30＝0，

∴(a＋2)(a－15)＝0，故a＝－2，或a＝±15. 232

∴a＝－2，或a＝±15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．

（通法提炼）：

1复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标. 2已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程组或不等式组求解.

(1)已知a∈R，则复数(a＋a＋1)－(a－2a＋3)i对应的点在复平面内的第________象限．

2(2)已知复数x－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为________．

答案：(1)四

(2)(1,2)

22类型二：复数与向量的对应关系

→→【例2】

已知向量OA对应的复数是4＋3i，点A关于实轴的对称点为A1，将向量OA1平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2. (1)求向量OA1对应的复数；(2)求点A2对应的复数．

【解】

(1)∵向量OA对应的复数是4＋3i，∴点A对应的复数也是4＋3i，

因此点A坐标为(4,3)，∴点A关于实轴的对称点A1为(4，－3)，

→故向量OA1对应的复数是4－3i. (2)依题意知OA1＝AA2，而OA1＝(4，－3)，设A2(x，y)，

则有(4，－3)＝(x－4，y－3)，∴x＝8，y＝0，即A2(8,0)，

∴点A2对应的复数是8. （通法提炼）：

→1复数z＝a＋bia，b∈R是与以原点为起点，点Za，b为终点的向量OZ一一对应的. 2一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应复数可能改变. →→→→→

(1)已知复数z1＝－3＋4i，z2＝a－3i(a∈R)，z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，且OZ1⊥OZ2，则a＝________. (2)在复平面内，向量OA表示的复数为1＋i，将向量OA向右平移1个单位后，再向上平移2→→个单位，得到向量O′A′，则向量O′A′对应的复数是________．

答案：(1)－4 (2)1＋i →→→→→→

类型三：复数模的计算

1【例3】

求复数z1＝6＋8i及z2＝－－2i的模，并比较它们的模的大小．

21【解】

∵z1＝6＋8i，z2＝－－2i，

2∴|z1|＝6＋8＝10，

|z2|＝1232－＋－2＝. 22223∵10>，∴|z1|>|z2|. 2（通法提炼）：

计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.

已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．

解：∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝3＋a，

22由已知得3＋a<4，

2∴a<7，即－7

22补充习题：课本B组3．在复平面内指出与复数z1＝1＋2i，z2＝√2+√3i，z3＝√3-√2i，z4＝－2＋i对应的点z1,z2,z3,z4.试判断这4个点是否在同一个圆上，并证明你的结论．（微课讲解）

多维探究：复数模的几何意义

【典例】

设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

(1)|z|＝2； (2)2<|z|<3.

【解】

(1)因为|z|＝2，即|OZ|＝2，所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图①. (2)不等式2<|z|<3可化为不等式组|z|>2，|z|<3，不等式|z|>2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z|<3的解集是圆|z|＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合

的交集就是上述不等式组的解集．

因此，满足条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图②. 【解后反思】

解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决．要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题．

思考题：（备用作业）

1．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是________．

解析：由已知得|z－i|＝5，

令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x＋(y－1)i|＝5. ∴x2＋(y－1)2＝25. ∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．

2．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．

解析：|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为22＋1.

兴趣小知识（补充）：复数的物理意义是什么？

复数最直观的理解就是旋转！4*i*i = -4.就是“4”在数轴上旋转了180度。

那么4*i就是旋转了90度。 另外，e^t是什么样呢？（指数函数图像）

但当你在指数上加上i之后呢？变成了一个螺旋线。是不是和电磁场很像？ 四、课堂小结：

1.

复习复数的概念和分类

2. 复数的两种几何意义

3.

复数“模”的概念

4.

探究复数模的几何意义

五、布置作业： 课时作业20 六、板书设计：

第三章数系的扩充和复数的引入

3.1.2 复数的几何意义

1. 复习复数的概念和分类

2. 复数的两种几何意义

3. 复数“模”的概念

4. 探究复数模的几何意义

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