回顾与思考教学设计及教案分析

第一章 勾股定理导学案

第1课时 探索勾股定理（1）

学习目标：

1、经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。

2 、会初步利用勾股定理解决实际问题。 学习过程：

一、课前预习：

1、三角形按角的大小可分为： 、 、 。

2、三角形的三边关系：

三角形的任意两边之和 ；任意两边之差 。

3、直角三角形的两个锐角 ；

4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则

这个直角三角形的面积可以表示为： 。 二、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：

（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；

直角三角形1

直角三角形2 a2

直角边a 3 a2

直角边b 4 b2

斜边c

c2

三边关系满足关系

直角边a 5 b2

直角边b

斜边c 13 c2

三边关系满足关系

（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系? www.12999.com

（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。

猜想：

三、合作探究：：

如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？

CAB图1-1AB图1-2图1-3CACAB图1-4CB

问题1、你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？图形

A的面积

B的面C的面A、B、C面积的关系

问题2、你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同积

积

伴进行交流。图1-1

问题3、分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。问题（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？图1-2

图1-3 图1-4 思考：

每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理：

直角三角形 等于 ； 几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中，C＝ 90°，

则： ； 若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为： 。

四、课堂练习：

1、求下图中字母所代表的正方形的面积

1、64225A169B144图1.1-1 如图示

:A代表的正方形面积为代表的正方形面积为2B、求出下列各图中x的值。

2、

A

它的边长为它的边长为17蚂蚁沿图中所示的折线由A点x

B爬到B点，蚂蚁一共爬行了多3.如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗15少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）C

杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？

A

五、当堂检测：

1．在△ABC中，∠C=90°，www.12999.com

（1）若BC=5，AC=12，则AB=

；

（2）若BC=3，AB=5，则AC=

；

（3）若BC∶AC=3∶4，AB=10，则BC=

，AC=

. （4) 若AB=8.5，AC=7.5，则BC= 。

2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为

.

3．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为 。

4．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为

. 5.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。

能力提升：

6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，B 其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和A 为_______cm2. 7.一个直角三角形的三边长为3、4和a，则以a为半径的圆的面积7c是 。

AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是 。

10．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，求△ABC的周长。

8.如图，点C是以AB为直径的半圆上一点，∠ACB=90°，

CABBCC D

9．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则其面积为

第

4

题

．

第2课时 探索勾股定理（2）

学习目标：

1、掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。

2、能运用勾股定理解决一些实际问题。 学习过程：

一、知识回顾：

1、勾股定理：

2、求下列直角三角形的未知边的长

AB16x B

5x20ACC 123、在一个直角三角形中，两条直角边分别为a，b，斜边为c：

（1）如果a8，b15，则c

，面积为

；

（2）如果a5，c13，则三角形的周长为

，面积为

；

二、自主学习：

利用拼图验证勾股定理（课前准备8个全等的直角三角形）：

活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考：

1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？

活动二：你能利用类似的方法由图2得到勾股定理吗？

图2

思考：用四个全等的直角三角形，通过拼图验证勾股定理，你还有那些方法？

三、合作探究：

例1

、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？

四、当堂检测：

基础巩固：

2、如图，阴影部分的面积为 ；

3、一个直角三角形的三边分别为3，4，x，则x2

4、若等腰三角形的腰为10cm，底边长为16cm，则它的面积为 ；

5.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 米。 6.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 ；

7.直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米，那么斜边上的高是 ； 8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 ；

能力提升：

３、求出下列直角三角形中未知数的长度9Ｘ9.小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h的速度向正北方向的学校走去，哥哥以x北６8km/h的速度向正南方向走去，半小时后，他们相距 Www.12999.com

东10、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q12１０DABC151、如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则CD=________； 83４、小东与哥哥同时从家中出发小东以６kｍ／h的速度，向正北三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？

M30千米ON40千米50千米方向的学校走去，哥哥则以8kｍ／h的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？A5、如图，AB是电线杆的拉线，从距地面12m高的A处，向离电杆5m的B处埋拉线，并埋入地下1.5m深，拉线长多少米？6、想一想：投影课本第4页“想一想“。B120千米QP11.如图，AB是电线杆，从距离地面12M高的A处，向离电杆5M的B处埋线，并埋入地下1.5M深，求拉线长多少米

12、．如图，矩形纸片ABCD的边AB=10，BC=6，E为BC上一点将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的。

ABDFCE13、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？

14、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长

A

15、如图1-4，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？

CDBE

第3课时 能得到直角三角形吗

学习目标：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。

学习过程：

一、复习回顾：

勾股定理：

条件： 结论： 二、自主学习：

1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗? (1)3, 4, 5,

(2)6, 8, 10

（3）9,12,15

2、勾股逆定理：

条件： 结论： 3、勾股数：

。

下列几组数是否为勾股数？说说你的理由。

（1）12，18，22

(2) 9, 12, 15

（３）12，35，36

（4）15,36,39

三、合作探究：

例1、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠Ａ和∠ＤＢＣ都应为直角。工人师傅量得AB=3，AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？

Ｄ

例2、如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？

例3、（1）如果将一组勾股数扩大相同的倍数，得到的还是勾股数吗？填写下表，并验证。

3,4,5 5,12,13 8,15,17 7,24,25 2倍

6,8,10

3倍

15,36,39

4倍

32,60,68

（2）如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长)，将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由。Www.12999.com

四、当堂检测：

基础巩固：

1. 下列说法正确的是( ) A. 若a、b、c是ABC的三边，则a2b2c2

B. 若a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2

C. 若a、b、c是RtABC的三边A90，则a2b2c2

D. 若a、b、c是RtABC的三边C90，则a2b2c2

2、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（

）

Ａ、８，15，17；

Ｂ、４，５，６；Ｃ、５，８，10；Ｄ、8，39，40 3、下列几组数中，是勾股数的是（ ）

A、4，5，6 B、12，16，20 C、-10，24，26 D、2.4，4.5，5.1 4、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2）＝０，则△ＡＢＣ是（

）

Ａ、等腰三角形 Ｂ、直角三角形

Ｃ、等腰直角三角形

Ｄ、等腰三角形或直角三角形

5、

有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来﹙ ﹚

A．13，12，12 ； B．12，12，8； C．13，10，12 ； D．5，8，4 6、三角形的三边长a, b, c满足等式（a+b）-c=2ab,则此三角形的是 三角形。

7、如图，在平行四边形ABCD中，CA⊥AB，若AB=3，BC=5，则平A行四边形ABCD的面积为

8、当m= 时，以m+1，m+2，m+3的长为

CB边的三角形是直角三角形。

9.一个三角形的三边之长分别为15，20，25，则这个三角形的最大角为 ，这个三角形的面积为 。

10、如果三条线段a、b、c满足a2=c2−b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？

D22

能力提升：

11、如图，在∆DEF中，DE=17cm, EF=30cm, EF边上的中线DG=8cm，问∆DEF是等腰三角形吗？为什么？

D

12、已知：在△ABC中，三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)。试判断△ABC的形状.

13、

如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900, 求这块草地的面积。

www.12999.com

14、如图，有一零件是等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC=20，D是AB上的一点，且CD=16，BD=12，⊿ACD的形状，并求⊿ABC的周长。

A

Dj

B

C

15、若⊿A BC三边长分别为a,b,c,且满足条a的形状，并证明为什么。

2EGF+b+c+338=10a+24b+26c,试判断⊿ABC22

第4课时 勾股定理的应用

学习目标：应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题。

学习过程：

一、复习回顾：

1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ) A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,15 2、若有两条线段，长度分别为5,13，第三条线段的平方为 时

，这三条线段才能组成直角三角形。

3、

圆柱的侧面展开图是________形，圆锥的侧面展开图是_______形。

4、圆的周长公式是

___。

5、在一个圆柱石凳上，，恰好一只在A处的蚂蚁想吃到B处的食物，想一想，蚂蚁爬行的最短路线是什么？自己做一个圆柱进行思考探索。

A 二、自主学习：

活动一：如果上面的圆柱高等于12厘米，底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3). B B A

B活动二：

一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、

12cm，一只蚂12cm蚁想从盒底的A点爬到顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？

8cmA8cm

小结：解决曲面上两点最短路线问题的方法是：

___________

.

活动三：

李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了一个长度为20厘米的卷尺，你能替他想办法完成任务吗？

三、当堂检测：

基础巩固：

1、

下列说法正确的是( ) A. 若a、b、c是ABC的三边，则a2b2c2

www.12999.com

B. 若a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2

C. 若a、b、c是RtABC的三边A90，则a2b2c2

D. 若a、b、c是RtABC的三边C90，则a2b2c2

2、在△ABC中, ∠C=90°，c=25, b=15,则a= . 3、三角形的三个内角之比为：１：２：３，则此三角形是 ．

4、三条线段 m,n,p满足m2-n2=p2

，以这三条线段为边组成的三角形为 5、.如图，直线l上有三个

正方形a,b,c,若a,c 的面积分别是5，11，则b的面积为 。

6、编制abcl一个底面周长为8、高为6的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C2B1，A2C1B2，…则每一根这样的竹条的长度最少是_________。

7、

一天，李京浩同学的爸爸买了一张底面是边长为250cm的正方形，厚30cm的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有240cm高，宽100cm．你认为李京浩同学的爸爸能拿进屋吗？说明理由．

8、如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端？

9cm15cm11.7cm

9、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？

能力提升：

10、如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走

最近？并求出最近距离．

11、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

12、如图所示，有一高4㎝，底面直径为6㎝的圆锥。现有一只蚂蚁在圆锥的顶A，它想吃到圆锥底部B点处的食物，需爬行的最短路程是多少？

第5课时

勾股定理复习课导学案

学习目标

1、记住勾股定理和逆定理的内容。

2、熟练掌握常见的勾股数。

3、会运用勾股定理及逆定理解决问题。

学习过程：

一、复习回顾：

1.

自主梳理

（1）、勾股定理： 。

（2）、勾股定理的逆定理： . (3)、满足

的三个正整数，称为勾股数。例如：

。

2.

点对点应用训练

（1）在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长的平方为______．

（2）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是______________．

（3）一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。

（4）分别以下列四组数为一个三角形的边长：3、4、5；5、12、13；8、15、17；

4、5、6，其中能够成直角三角形的有 （5）

三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）

A．a:b:c=8∶16∶17 B．

a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D．

a:b:c

=13∶5∶12 （6）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆

柱的高为8cm，圆柱的底面半径为6cm，那么最短

B

的路线长是（

）

A. 6cm

B. 8 cm

C. 10 cm

D. 10c A

二、例题研究

例1、如图己知ABBC,AB3,BC4,CD12,AD13求四边形ABCD的面积

例2、如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

www.12999.com

三、巩固练习

1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（

）

A. 第三边一定为10

B. 三角形的周长为25

C. 三角形的面积为48

D. 第三边可能为10 2．直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（

）

A . 27cm

B. 30cm

C.

40cm

D. 48cm

3．若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是

(

)

A. 等腰三角形

B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等腰三角形或直角三角形

4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（

）

A

直角三角形

B

锐角三角形

C

钝角三角形

D

不能

5．

在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=

；

（2）b=8，c=17 ，则SABC=

6．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段长的平方为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形. 7. 在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________ 8．等腰三角形的周长是16cm,底边长是6cm,则底边上的高是____________

9.在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c= 10.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为_________cm2．www.12999.com

B11.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外 6 8 壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm A

12.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （取3）

13.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 14.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，

则该地毯的长度至少是 米。