3.三个正数的算术-几何平均不等式优质课一等奖

利川市第五中学高一年级数学学科集体备课教案

第 次教案

课 题

主备课人

授课时间

课 型

教学目标

过

程

与

方

法

1.1.3三个正数的算术­几何平均不等式

______班第_____周星期_______第_______节课

______班第_____周星期_______第_______节课

新授课

教学方法

知

识

与

技

能

“212”高效课堂模式

教 具

常规教具

1.

探索并了解三个正数的算术—几何平均不等式的证明过程．

2.会用平均不等式求一些式子或函数的最大(小)值．

3．会用平均不等式解决实际中的应用问题．

“212高效课堂模式”

授课人

课时数

情感、态度与价值观

培养学生的自学能力，合作探究以及总结归纳的能力

学情分析

教学重点

教学难点

会用平均不等式求一些式子或函数的最大(小)值

会用平均不等式解决实际中的应用问题

教学过程设计（含学法指导内容）

教 学 内 容

教师

学生

二次

活动

活动

备课

一、自主预学案：不看不讲

知识点一：三个正数的算术­几何平均不等式(定理3) 如果a，b，c∈R＋，那么等号成立

知识点二:基本不等式的推广

对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，na＋b＋c3≥abc，当且仅当a＝b＝c时，3等号成立

湖北省利川市第五高级中学

1

1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意n个数的算术平均值不小于它们的几何平均值．( ) a1＋a2＋…＋ann(2)≥a1a2…an只对n＝2和n＝3的情形适用．( ) n(3)算数­几何平均不等式是针对n个正数而言的，否则不一定成立( )

2、若a，b，c都是正数且a＋b＋c＝6，则abc的最大值为(

) A．2

B．2 C．8 D．3 43、函数y＝2x2＋(x∈R＋)的最小值为(

) xA．6 B．7 C．8 D．9

二、合作探究案：不议不讲

探究一：用三个正数的算术­几何平均不等式证明不等式

例1.

已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，

1119求证：＋＋≥. a－bb－cc－da－d

补充例题: 1.已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy

12．已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋≥2y＋3. x2－2xy＋y2

精讲突破：

探究二：利用三个正数的算术­几何平均不等式求最值

4例2、求函数y＝x＋(x>1)的最小值

（x－1）2湖北省利川市第五高级中学

2

补充例题: 1若x>0，求函数y＝4x2＋的最小值．

x

精讲突破：

探究三：应用三个正数的算术­几何平均不等式解决实际问题

例3、如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．众所周知，灯挂得太高，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的灯光亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源sin θ的距离r的平方成反比，即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的r2常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

补充例题: 1.

用长度为72 cm的铁丝截成12段围成一个长方体，当它的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大值是多少？

2．已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．

精讲突破：

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3

三、训练案：不做不讲

1、正实数x，y，z满足xyz＝2，则(

) 3A．x＋y＋z的最大值是32 B．x＋y＋z的最大值是32 3C．x＋y＋z的最小值是32 D．x＋y＋z的最小值是32

2、设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值为(

) A．2

B．3 C．4 D．6

13、已知0＜x＜，则x2(1－2x)的最大值为____ 2

4、当x>0时，(1)求y＝x＋4的最小值．

x227(2)求y＝x＋的最小值

x3

板

书

设

计

作 业

布 置

教

学

反

思

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