3.1.2 复数的几何意义教学设计案例

第1课时

数系的扩充与复数的概念

1.在问题的情境中了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.

2.理解复数的基本概念和代数表示,能利用复数的有关概念对复数进行分类.

3.掌握两个复数相等的充要条件.

4.理解复数集和复平面上的点集的一一对应关系,知道实轴、虚轴及各象限内的点所对应的复数的特征;会用复平面内的点和向量来表示复数,体会复数与向量之间的关系.

由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数集内仍然无解.

问题1:(1)虚数单位i的引进

为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义.

虚数单位i满足它的平方等于

-1

,即i2=

-1

.

(2)复数的有关概念

复数:形如

a+bi(a,b∈R)

的数叫作复数.

复数集:全体复数所组成的集合叫作复数集,用字母C表示.

复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+bi(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数z的

实部

与

虚部

.

(3)两个复数相等的定义

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di⇔a=c,b=d.

问题2:复数z=a+bi(a,b∈R), 当b=0时,复数z是实数;当

b≠0

时,复数z是虚数; 当

时,复数z是

纯虚数

.

问题3:复平面的概念、复数的几何意义

点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,当用直角坐标平面内的点表示复数时,我们称这个直角坐标平面为

复平面

,x轴叫作

实轴

,y轴叫作

虚轴

.

实轴上的点都表示

实数

,虚轴上的点

除原点外

都表示

纯虚数

.

复数集C和复平面内所有的点构成的集合是

一一对应

关系,即复数Z=a+bi复平面内的点Z(a,b).

这是因为每一个复数在复平面内都有唯一的一个点与它对应;反过来,复平面内的每一个点都有唯一的一个复数与它对应.

这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.

问题4:复数a+bi、点Z(a,b)(复数的几何形式)、向量 (复数的向量形式,以O为始点的向量.规定:相等的向量表示同一个复数)三者之间的关系和复数的模.

①三者的关系如下:

②复数的模(或绝对值) 向量 的模| |叫作复数z=a+bi的

模(或绝对值)

,记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi就是实数a,它的模等于|a|(即实数a的绝对值).

|z|=

|a+bi| =

.

对复数概念的理解

已知下列命题: ①复数a+bi一定不是实数; ②两个复数不能比较大小; ③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;

④若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时,z为虚数; ⑤若a+bi=c+di,则a=c且b=d.

其中真命题的个数是(

).

A.0

复数概念的应用

已知z=

-

-

+(m2+5m+6)i(m∈R),当实数 B.1

C.3

D.4 m为何值时, (1)z是实数?(2)z是虚数?(3)z是纯虚数?

复数相等与复数的模

(1)已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根n且z=m+ni,求复数z.

(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=

+(cos θ-2)i,若z1=z2,求 θ和|z1|的值.

1.(2014年·湖南卷)复数

(i为虚数单位)的实部等于

.

考题变式(我来改编):

2.(2014年·重庆卷)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(

).

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

考题变式(我来改编):

参考答案

知识体系梳理

问题1:(1)-1

-1

(2)a+bi(a,b∈R)

实部

虚部

问题2:b≠0

纯虚数

问题3:复平面

实轴

虚轴

实数

除原点外

纯虚数

一一对应

问题4:模(或绝对值)

|a+bi|

重点难点探究

探究一:【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+bi是实数;②是假命题,因为两个复数都是实数时,

-

解得x=2;④是假命题,因为没有强调可以比较大小;③是假命题,因为由纯虚数的条件,得

a,b∈R;⑤是假命题,因为没有强调a,b,c,d∈R,故选A. 【答案】A 【小结】对概念的理解要注意一些小细节,比如a+bi中要求a,b∈R.

得m=-2.

探究二:【解析】(1)若z是实数,则

(2)若z是虚数,则

得m≠-2且m≠-3且m∈R.

(3)若z

-

-

是纯虚数,则

得m=3.

【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式,即z=a+bi(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据需满足的条件去解答问题;②解题中要时刻注意应使式子有意义.

探究三:【解析】(1)由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0,

即

解得

- 故z=3-i.

故

(2)由已知,得

- 解得θ=2kπ(k∈Z),此时z1=1-i,|z1|=

=

.

【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:

①等式两边整理为a+bi(a,b∈R)的形式; ②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组; ③解方程组,求出相应的参数.

全新视角拓展

1.【解析】∵【答案】-3 ==-3-i,∴-3-i-

的实部等于-3.

2.【解析】由题意,可得复数z=-2+i,故在复平面内对应的点为(-2,1),在第二象限,故选B.

【答案】B 思维导图构建

a+bi(a,b∈R)

a=0