阅读与思考 九连环PPT及课堂实录内容

一师一优课

一课一名师

九

连

环

普通高中课程标准实验教科书人教A版选修5第二章第五节阅读与思考

授课教师：浙江省镇海中学

董昊雷

二零一八年六月

九连环中的数学

一、

教学内容解析

九连环是我国传统的益智类玩具，是中国传统文化的结晶，具有较强的趣味性，它不仅锻炼大脑，活动手指，其中蕴藏的数学原理还能开发人的逻辑思维能力、培养人的精神品格．

在高中课本中，九连环位于人教A版《数学必修5》第二章第五节的“阅读与思考”栏目，是在学生学习完数列之后展开的，主要就是利用数列的递推关系去解决解九连环的最少步数问题．事实上，“九连环”作为递推数列生动的背景，它不但能发展学生的逻辑思维能力，而且能培养学生求真求实的数学精神与迎难而上、坚韧不拔的人格品质，也可作为培养学生核心素养的探究课来尝试．

同时本节课的学习，为将来学习高等数学打下基础，也为用数学知识研究现实生活中的的实际问题做铺垫．让学生进一步体会数学抽象数学建模等的核心素养，感受数学来源于生活而用于生活．

二、

学生情况分析

1．从学生的认知基础看：学生之前已经学习了数列的相关知识，对等差数列、等比数列、递推关系等知识有了一定的认识，有阅读、观察的基础，具备一定的合作交流，自主探究能力．但是他们无法将所学知识与实际问题产生联系，并将数列的递推关系运用于现实问题，这其实是教学中的一大难点．

2．从学生的思维品质看：学生在学习完数列这一章后对数学又了一定的理解，也能解决一些简单的等差数列、等比数列等问题，并能通过一些简单的递推关系求出数列通项，比如一阶二阶的数列．但是这个年龄段的学生普遍欠缺提出问题，发现问题，解决问题的能力，同时数学抽象的能力不足，数学建模的素养欠缺．

三、

教学目标设置

依据教学大纲的教学要求，根据新课程的教学理念，从发展学生的六大核心素养——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学计算、数据分析出发，确定本节课的教学目标如下：

（一）知识与技能

1．理解用化归、递归、类比、函数等思想解决九连环计数问题的方法．

2．能在具体问题情景中发现数列的递推关系．

（二）过程与方法

1．经历动手操作、探索规则、提出问题、建立模型、解决问题、方法应用

的学习过程．

2．体会求解过程中的化归、递归、类比、函数、归纳等思想方法．

（三）情感态度价值观

1．通过了解九连环的历史，让学生感受我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感．

2．通过学生课前，课内，课后自主，合作探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神．

3．通过九连环计数数列使学生感受到数列是反映现实生活的数学模型，体会数学源于实践并应用于实践．

四、

教学重难点分析

（一）教学重点：

1．解九连环的策略与方法．

2．结合递推数列有关知识求解九连环的最少移动步数．

（二）教学难点：

1．解九连环的方法与策略．

2．将九连环问题转化为数列问题，并写出递推关系．

3．利用递推关系求通项，并解n连环的最少移动步数．

（三）突出重点、突破难点的方法：

1．突出重点采用“抓三线、突重点”：一抓知识与技能线；二抓过程方法线；三抓能力素养线．

2．突破难点采用“抓两点、破难点”：一抓学生情感和思维的兴奋点，玩九连环，在娱乐中运用数列；二抓知识的切入点，从提出的问题进行切入．

五、

教学策略分析

（一）教学媒介

课前下发九连环，2人为一组，每组一个九连环．课上我将灵活运用希沃授课助手中的同屏技术、拍照上传技术等，并结合多媒体电子触摸屏展示课堂中学生的操作过程、思考过程、探究过程、计算过程、表达结果等，让学生亲历发现问题、提出问题、解决问题的思维之旅．

（二）教法学法

基于教学内容的实际特点，教学大纲的基本要求，针对本节课的特点，在教法上，我采用以教师为主导，学生合作探索、积极思考为主体的探究式教学方法；在教学过程中，我注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手试验，让同学们积极主动分享自己的发现和感悟．

本节课立足于生活实践，从九连环的历史出发，引导学生对九连环中的数学问题进行分析．通过一系列问题教学法引发学生思考，最终解决解九连环的最少步数问题．

六、

教学过程

教学流程

（一）介绍历史，引出新课：犹抱琵琶半遮面

1．介绍历史

首先教师展示四张图片由此引出九连环的背景．在2002年第24届世界数学家大会在北京召开，在科技馆中我国展示了一些古典数学玩具，有孔明锁、华容道等，最后重点展示九连环．

接着由古典玩具述说九连环的历史，从战国到三国到明清时期都有关于九连环的记载，而且有关九连环的文字记载在我国的古籍中也比较多见，我们熟悉的红楼梦的第七回中就有宝玉黛玉深闺玩九连环的记载，说明在曹雪芹生活的年代解九连环是一个常见的娱乐活动．

然后由国内引到国外，其实不单单是我们中国人，外国人也喜欢玩九连环，据说就连爱因斯坦也很喜欢玩九连环，在他的办公桌上还放着一个中国的九连环．

2．引出新课

最后教师抛出问题：为什么看似圈圈套套的九连环这么吸引人，它有什么吸引人的地方，其中隐含着什么数学奥秘，然后引出今天的课题《探寻九连环中的数学》．

3．设计意图

在源远流长的九连环历史回溯和充满文学的各类古籍记载的翻阅中，为九连环的出场蒙上犹抱琵琶半遮面的神秘面纱，增强数学的趣味性，活跃课堂气氛，而且学生可以从中感受我国古代数学的魅力，增强民族自豪感．

（二）认识连环，提出问题：蓄势待发

1．认识九连环

在多媒体上展示九连环的的图片，认识各部件的结构，教师辅助说明其的名称．

2．提出问题

伟大的物理学家爱伊斯坦说过：提出问题的艺术比解决问题的方法更为重要！由此开启由问题引导的教学方式开启探究九连环之旅．

【问题一】

【问题二】如何解九连环？

【问题三】解九连环最少需要几步？

在解决完这三个问题后为进一步贯彻数列的思想，提出第四个问题．

【问题四】如何求通项？

3．设计意图

认识九连环后知道了对每一环的名称，为后续描述连环的状态做铺垫．贯彻之前设计的问题教学法以及以教师为主导学生为主体的原则，教师充分发挥主导的作用，并设计四个问题引发学生思考，串起整堂课堂，学生则带着问题去玩九连环、研究九连环，在玩中学数学．

（三）探究规律，应用数列：剥丝抽茧寻奥秘

1．探究规律

（1）探究并解决问题一

学生提出问题一后学生能较顺利地得到结果，即为如下图的过程．

教师给出两种状态的名称：满贯状态、零状态，解九连环即是从满贯状态到零状态的过程．在此基础上教师再次引导学生进一步思考．

【追问】如何描述中间的某个状态？（比如下图所示的这种状态）

学生在教师的引导下说出一下，二下，三下，四上，五上，六上，七上，八上，九上，教师在此基础上总结出这是文字语言，并提示能否用图形语言和数学语言去表示，给出一种图形展示如下图，对于数学语言只需考虑的环只有在柄上和柄下两种状态，即可用二进制表示这个过程，若规定在柄上为1，柄下为0，则上述过程即为111111000．

在此经历了从文字语言到图形语言再到数学语言，其实这种不断舍弃其物理属性的过程就是数学抽象的过程，在学生体验完数学抽象后再给出数学抽象的概念，让核心素养的落实更务实、准确．

有了数学语言的描述，任务就变成从111111111的满贯状态到000000000的零状态，问题一得到了解决．

（2）探究并解决问题二

教师引导，将问题分解，设置追问．

【追问1】如何把第三个环解下或套上？

【追问2】如何把第四个环解下或套上

……

【追问3】你能从中发现什么规律？

让学生带着这几个问题动手玩一玩九连环（可以小组合作完成）．在学生回答环节选择打破传统，用希沃授课助手将学生玩九连环的过程实物投影到大屏上，其他组的学生在玩的过程中可以不断借鉴，最终让学生自主形成其中的规律．

①第

1环可以自由上下

②上/下第

n环时（n>1），则必须满足：

（a）第

n-1个环在架上（b）前

n-2个环全部在架下．

追问1中如何解前两个环的目的是让学生知道环是如何上下的，即基本操作，如何解后面的环是为了发现一般规律．

2．应用数列

（1）探究并解决问题三

由于第一二环可以同时上下，所以规定解下或套上一个环为一步．这里将问题三再分解．

【追问1】解下第一个环需要几步？

【追问2】解下前二个环需要几步？

【追问3】解下前三个环需要几步？

首先给出三个追问，第一二问学生马上可以作答，第三问需要操作后才可得到，教师在PPT上展示九连环操作过程中的图形语言和数学语言．

【追问4】解下前四个环需要几步？

这里试着让学生用数学语言表示操作过程，需要学生小组合作完成，一人操作一人纪律，教师则通过希沃授课助手的拍照上传功能将学生的成果展示在投影仪上．

有了前面的基础后，教师设置一个比赛的环节：谁能最快地解下五连环．小组合作动手操作，并将操作过程用数学语言表示出来，教师则将学生成果展示在投影仪上，并最终得到结论需要21步．接着教师再次提问引发学生思考：难道解九连环都要这样通过记录过程并数出结果吗？当然不是，所以教师再次追问．

【追问5】你能发现什么规律？

第一种思路：从数字本身上寻找规律，这种方法比较难把握，所以教师引导从解环本身上寻找规律．接着分析解前五环的步骤：解下前五环首先要解前三个环，之后才能把第五个换拿下，接着要套上前三个环，最后再解下前四个环即可．所以归纳起来如下图所示．

【追问6】可以用什么数学知识表示这一过程？

在教师的引导下，学生的深入思考给出答案：可以用数列表示这一过程．设解下前n个环需要an步，则解下前五个环的步骤就可表示为a52a3a41，而这个即是数列中的递推关系．

从分析解前五个环的过程中得到数列的递推关系又是一个数学抽象的过程．

由此递推可以得到一般的情况，即an2an2an11，这里要注意n的取值范围，即n3，而a11,a22，据此可以逐个写出a1到a9的每个值，最终得到解九连环最少需要341步．

解决完这个问题后我们还需要进一步思考：知道递推关系就够了吗，如果环再多几个难道还是一个一个写吗？所以引出第四个问题．问题四：如何求数列的通项？

（2）探究并解决问题四

问题：已知a11,a22，且an2an2an11(n3)，求数列的通项an．

学生解答并最终得到答案，教师通过希沃授课助手将学生的作品拍照上传，以下是解答过程．

解：(1)an2an2an11an12an3an21(1)(2):anan22(an1an3)记bnanan2则(1)(2)

anan12an2an12an3an2bn2bn1当n3时，数列bn为等比数列(2)由(1)知bnb3qn342n32n1anan22n1

当n为奇数时：a3a122a5a324a7a526anan22以上式子相加:ana12224262n1an202224262n112n11n1(21)2312n1当n为偶数时：a4a223a6a425a8a627anan22n1以上式子相加:ana22325272n1an212325272n12(12n)1n1(22)2312

1n1(22)当n为偶数时3综上可知：an

1(2n11)当n为奇数时3

3．设计意图

问题一中首先引导学生用通俗易懂的自然语言进行表述，之后试着用图形语言，最后用数学语言去表述，由于只需表示两种状态，所以联系到可用二进制表示，在这三种语言的不断递进让学生体会数学抽象的过程．问题二是得到解九连环一般规律的过程，这里设计追问，需要从简到繁从易到难的思路解决该问题，体会从特殊到一般的归纳过程．问题三同样运用从特殊到一般的思路，通过对解五连环的分析生成数列的递推关系，并推广到一般情况．问题四是对问题三的进一步解答，即由递推关系推出通项公式，这里需要两次构造等比数列，对学生的要求很高，教师可以启发引导并详细解释思路的来龙去脉，或者运用“滚雪球”式的教学方法把其中几个学生的思路展示给全班，由此让这种创新思维越滚越大，以此提升学生的思维能力，另外求通项的方法不止这一种，学生可以课后查阅资料．在问题二中可以用希沃授课助手展示学生解九连环的过程，以及在求通项公式时用拍照上传，在恰当处运用信息技术辅助教学可以大大提高课堂效率，同时当学生的成果被展示时也可以引起学生极大的兴趣，产生课堂的多次高潮，让课堂充满掌声、笑声、赞叹声．

（四）探究思考，层层深入

1．探究一：变式

问题：若一环二环可以同时取下，解九连环又需要几步？

通过提问让学生探究，最终发现之前的递推公式保持不变，唯一改变的是a2，此时2n11当n为偶数时，所以解下九连环需要256步，比之前a21，通项公式为ann1当n为奇数时2少了将近90步．

2．探究二：华生问题

问题：上个世纪70年代早期，美国一家生产玩具的公司老板杰西华生（Jesse R．

Watson）提出这样一个问题：假设九连环的初始状态是只有最靠近柄把的一个环在柄上，其他所有的环都在柄下，问解开这个九连环最少需要多少步？

思考九连环中递推关系的得出，得到结论即为a8a9511步，另外对于此问题考虑能否用其他方法解决．

不妨考虑n个圆环的情况．用bn表示前n1个圆环都已经解下的前提下,再解下或套上第n个圆环所需的次数，这样再类比上述推导过程得到递推公式bn2bn11(n2)，并最终得到通项公式bn2n1．

3．设计意图

探究思考其实就是对所学知识的应用．探究一是在解九连环中就会产生的问题，由于一次可以上下前两个环，所以让学生重新思考该数列的递推关系和前两项，寻找改变处和不变处．对于探究二学生要利用之前抽象递推公式的过程得到a8a9，同时让学生考虑设新数列寻找新通项，让学生体验数列在九连环中的再次应用．

（五）归纳小结：

1．师生共同小结

教师提问：请你谈谈这节课有什么收获？这里充分调动学生的积极性，让学生学着自己归纳本堂课的知识、方法、思想等．最终教师在学生的基础上再提炼、再总结，指出解九连环中学生经历的数学抽象、数学建模等数学核心素养，以及这里运用的RMI原理，即关系——映射——反演原理．

2．设计意图

通过本节课的学习让学生体会其中蕴含的哲学道理以及培养学生的探索与实践的精神与意识．

（六）课后作业，拓展提升

1．必做题

（1）阅读：书本P59-60阅读与思考题，并解一次九连环，还原一次九连环．（将其拍成视频上传到我的邮箱）

（2）能否用其他的递推关系表示解九连环的过程，若可以，给出递推关系，并求通项．

（3）能否用其他的递推关系表示华生问题，若可以，给出递推关系，并求其通项．

2．选做题（从下面两个问题中选一个问题研究，写成一篇小论文并发到我的邮箱）

（1）这里的二进制是用来描述一种状态，能否用二进制来计数呢？

（2）你还能用数学知识研究其他玩具吗？

（比如汉诺塔、魔方等）

3．设计意图

通过本节课的学习让学生学会数学来源于生活而用于生活，同时拓展学生的眼界，为学生的进一步学习开一扇窗．

七、

板书设计

1．板书

2．设计意图

解九连环中的四个问题与最终的数列关系的得到是现实问题与数学问题的联系，其中运用了数学抽象、数学建模等核心素养，想要让核心素养落地生根，就要在问题或情境中寻找能运用能力运用素养的地方，在适当的时候培养能力发展素养，才能让数学的大树枝繁叶茂．

大树的枝叶是可见的，根是不可见的，枝叶与根连为一体，只有根茁壮了才能枝繁叶茂，其实数学知识和核心素养的关系也是这样，数学知识是显性可见的的，数学核心素养是隐形不可见的，两者相互联系，而且核心素养发展得好了数学知识才能应用得更好．