阅读与思考 九连环课件配套优秀公开课教案设计

等比数列的前n项和

一．

教材分析

（1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

（2）知识的体系：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。

二．学情分析

（1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。

（2）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

三．教学目标

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：

（1）理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。

（2）通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．

（3）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学结构的对称美、形式的简洁美。

四．重难点分析

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。

教学难点：公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。

五．课堂设计

（一）创设情境，提出问题

在古印度，有个大臣发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。大臣说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王能实现他的承诺吗？

[设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点]

提出问题1：同学们，你们知道大臣要的是多少粒小麦吗？

23引导学生写出麦粒总数1222263

（二）师生互动，探究问题

提出问题2：1+2+22+23++263究竟等于多少呢?

有学生会说：用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。）

提出问题3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

提出问题4：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两边同以2，得到另一式：

...S641222232S642222324263.........(1)264.......(2)

比较（1）(2）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（1）、（2）两式有许多相同的项）

提出问题5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？。（学生会发现：S642641

[这五个问题的设计意图：层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也让学生感受到这种方法的神奇] 这时，老师向同学们介绍错位相减法，并提出问题6：同学们反思一下我们错位相减法求

此题的过程，为什么（1）式两边要同乘以2呢？

[这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫]

（三）类比联想，解决问题

提出问题7：设等比数列an的首项为a1,公比为q,求它的前项和Sn

即 Sna1a2a3an 学生开展合作学习,讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同学板书在黑板上。

[设计意图：从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验]

（四）分析比较，开拓思维

将不同的的方法进行分析评价。根据学生的认识状况，可能有如下几种方法：等比数列{an},公比为q,它的前n项和错位相减法1：

Sna1a1qa1q2a1qn2a11qn

qSna1qan11q2a2n1qna1qa1q

(1q)Sna1a1qn

等比数列{an},公比为q,它的前n项和错位相减法2 Sna1a2a3an1an

qSna2a3an1ananq

(1q)Sna1anq

等比数列{a提出公比q n},公比为q,它的前n项和Sna1a2a3an1an

S2na1a1qa1qan21qa11qn

a1q(a1a1qan31qa1qn2)

a1q(Sa1qn1n)

(1q)Sna1a1qn

可能也有同学会想到由等比定理得

Sna1a2a3a2a3a1a2ananqan1a2a3anqa1a2an1Sa即

n1qSnan(1q)Sna1anq

【设计意图：共享学习成果，开拓了思维，感受数学的奇异美】

（五）．归纳提炼，构建新知

na-aq11提出问题8:由(1-q)sn=a1-a1qn得sn=对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比1-q能不能为1？q1时是什么数列？此时Sn？

【设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，增强思维的严谨性】

（六）层层深入，掌握新知

提出问题9：请同学们归纳前n项和公式

【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量．进行正反两方面的“短、浅、快”

练习．通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征】

（七）总结归纳，加深理解

（1）等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？

（2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？

【设计意图：形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，优化学生的认知结构】

（八）课后作业，巩固提高

六、教学反思：

本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。充分体现以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，引导学生发现数学的美，体验探索的乐趣。