2.2.2 反证法课堂实录及点评

2.2.2

反证法

1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.

2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.

反证法的定义及证题关键

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法.(

) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理.(

) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾.(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)√

2.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(

) ①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论. A．①②

C．①②③

答案：C 3.命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是(

) A．a＜b

C．a＝b

答案：B

用反证法证明否定性命题

已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 【证明】

假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.

因为ad－bc＝1，

所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，

即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.

B．a≤b

D．a≥b

B．①②④

D．②③

所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，

则a＝b＝c＝d＝0，

这与已知条件ad－bc＝1矛盾，

故假设不成立.

所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.

(1)用反证法证明否定性命题的适用类型

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.

(2)用反证法证明数学命题的步骤

已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列. 证明：假设a，b，c构成等差数列，

则有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac，

又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，

且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，

即b2＝ac，

因此4ac＝a2＋c2＋2ac，

所以(a－c)2＝0，

从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾.

故a，b，c不成等差数列.

用反证法证明唯一性命题

若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点. 【证明】

由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断，

且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，

所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，

设零点为m，则f(m)＝0.

假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，

即f(n)＝0，

则n≠m.

若n>m，则f(n)>f(m)，

即0>0，矛盾；

若n

即0<0，矛盾.

因此假设不正确，

即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.

(1)“唯一性”问题是数学中的常见问题，常见的词语有“唯一”“有且只有一个”“仅有一个”等.这类问题通常既要证明“存在性”，又要证明“唯一性”.

(2)证明“存在性”一般比较简单，多数采用直接证明的方法，但“唯一性”的证明需要用反证法，通常可假设“存在两个…”或“至少有两个”等，再经过推理论证，得出矛盾.

求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直. 解：已知：平面α和一点P.

求证：过点P与α垂直的直线只有一条.

证明如下：如图所示，不论点P在α内还是在α外，设PA⊥α，垂足为A(或P).

假设过点P还有另一条直线PB⊥α，

设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，

于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，

所以假设不成立，原命题成立.

用反证法证明“至多”“至少”命题

设f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1，1]，证明：当b＜－2时，f(x)在其定义域内至少1存在一个x，使|f(x)|≥成立. 21【证明】

假设不存在x∈[－1，1]使|f(x)|≥成立，

211则对任意x∈[－1，1]都有－＜f(x)＜成立.

22b当b＜－2时，x＝－＞1，

2

所以f(x)在[－1，1]上是单调递减函数，

所以1f(1)＝1＋b＋c＞－2

1f(－1)＝1－b＋c＜，21⇒b＞－，与b＜－2矛盾.

21故假设不成立，因此当b＜－2时，f(x)在其定义域内至少存在一个x，使|f(x)|≥成立. 2(1)对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题，若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明，则可考虑用反证法证明.

(2)注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.

11

设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋，求证：a2＋a＜2与b2＋b＜2至多有一ab个成立. 11a＋b证明：因为a＋b＝＋＝，

abab因为a＞0，b＞0，

所以ab＝1.

假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，

则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；同理0＜b＜1，

从而ab＜1，这与ab＝1矛盾，故a2＋a＜2与b2＋b＜2至多有一个成立.

1.反证法证明的基本步骤

(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设) (2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(归谬) (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的.(结论) 2.用反证法证明问题时要注意以下三点

(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法. (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.

1.已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数. 证明：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾.

所以假设不成立，所以a，b，c不可能都是奇数.

2.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1. 求证：a，b，c，d中至少有一个是负数. 证明：假设a，b，c，d都是非负数，

因为a＋b＝c＋d＝1，

所以(a＋b)(c＋d)＝1.

又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，

所以ac＋bd≤1，

这与已知ac＋bd＞1矛盾，

所以a，b，c，d中至少有一个是负数.

[A

基础达标] 1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(

) A．有两个内角是钝角

B．有三个内角是钝角

C．至少有两个内角是钝角

D．没有一个内角是钝角

解析：选C．“最多有一个”的反设是“至少有两个”.

2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(

) A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

解析：选C．假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C．

3.否定结论“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(

) A．a、b、c都是奇数

B．a、b、c都是偶数

C．a、b、c中至少有两个偶数

D．a、b、c都是奇数或至少有两个偶数

解析：选D．自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数.剔出结论即为反设.

14.设x>0，则方程x＋＝2sin x的根的情况是(

) xA．有实根

C．恰有一实根

B．无实根

D．无法确定

1解析：选B．x>0时，x＋≥2，而2sin x≤2，但此二式中“＝”不可能同时取得，所x1以x＋＝2sin x无实根.

x1115.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(

) yzxA．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 111解析：选C．若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，xyz显然①，②矛盾，所以C正确.

6.在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为______________. 解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.

答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP

7.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立. ②所以一个三角形中不能有两个直角. ③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确顺序的排列为______. 解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的.

答案：③①②

8.用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为______. 解析：“a、b全为0”即是“a＝0且b＝0”，

因此它的反设为“a≠0或b≠0”.

答案：a，b不全为0 9.如图所示，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.

证明：如图所示，连接AB，假设AC⊥平面SOB.

因为直线SO在平面SOB内，

所以AC⊥SO.

因为SO⊥底面圆O，

所以SO⊥AB，

所以SO⊥平面SAB，

所以平面SAB∥底面圆O.

这显然矛盾，

所以假设不成立，

故AC与平面SOB不垂直.

10.若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围. 解：设三个方程均无实数根，则有

Δ1＝16a－4(－4a＋3)＜0，Δ2＝(a－1)2－4a2＜0，

Δ3＝4a2－4(－2a)＜0，21

解得a＜－1或a＞，3－2＜a＜0，33即－＜a＜－1，所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根.

22[B

能力提升] 31－＜a＜，22

11.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2. 其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号). 12解析：若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出.若a＝b＝1，则a33＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出.对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1.

反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.

答案：③

12.若a、b、c、d都是有理数，c、d

都是无理数，且a＋c＝b＋d，则a与b，c与d之间的数量关系为__________，______. 解析：假设a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零的有理数)，于是b＋m＋c＝b＋d，所d－c－m2以m＋c＝d，两边平方整理得c＝.

2m左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a＝b，从而c＝d.

答案：a＝b

c＝d

13.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点.若f(c)＝0，且0＜x＜c时f(x)＞0. 1(1)证明：是函数f(x)的一个零点；

a1(2)试用反证法证明：＞c. a证明：(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，

所以f(x)＝0有两个不等实根x1，x2.

因为f(c)＝0，

所以x1＝c是f(x)＝0的一个根，

c又因为x1x2＝.

a11≠c，

所以x2＝aa1所以是f(x)＝0的另一个根，

a1即是函数f(x)的一个零点.

a11(2)由第一问知≠c，故假设＜c，

aa

1易知＞0，

a由题知当0＜x＜c时，f(x)＞0，

11＝0矛盾，

所以f＞0与faa1所以＞c.

a14.(选做题)设{an}是公比为q的等比数列. (1)推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列. 解：(1)设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn1，①

－qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

由①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

a1(1－qn)所以Sn＝，

1－qna，q＝1，1综上所述，Sn＝a1(1－qn)

，q≠1.1－q(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，

(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

2kkk1a2·a1qk1＋a1qk1＋a1qk1，

1q＋2a1q＝a1q－＋－＋因为a1≠0，

所以2qk＝qk1＋qk1.

－＋因为q≠0，所以q2－2q＋1＝0，

所以q＝1，这与已知矛盾.

所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列.