3.1.2 复数的几何意义优质公开课教案

第5讲

复数的概念及运算

基础巩固

1.(2012·天津卷,1)i是虚数单位,复数等于(

) A.1-i B.-1+i C.1+i D.-1-i 【答案】C 【解析】====1+i. 2.如果(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于(

) A.1 B.-1 C. D.-[来源:学*科*网]

【答案】B 【解析】方法一:(m2+i)(1+mi)=m2+m3i+i+mi2=m2-m+(m3+1)i. ∵(m2+i)(1+mi)为实数,∴m3+1=0.故m=-1. 方法二:代入验证法.将m=-1代入检验,可知. 方法三:若(m2+i)(1+mi)为实数,则(m2+i)(1+mi)=(m2-i)(1-mi),求解可知. 3.在复平面内,复数对应的点位于(

) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【答案】D 【解析】===1-i,对应的点为(1,-1).故选D. 4.i是虚数单位,复数等于(

) A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i 【答案】B 【解析】====2-i. 5.已知复数z=,是z的共轭复数,则z等于(

) A. B. C.1 D.2 【答案】A 【解析】方法一:∵z==, ∴=. 故z=×==.

方法二:∵z==, ∴|z|===.故z=|z|2=. 6.i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则ab的值是(

) A.-15 B.-3 C.3 D.15 【答案】B 【解析】∵==-1+3i, ∴a=-1,b=3,ab=-3. 7.(2012·江西卷,1)若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+的虚部为(

) A.0 B.-1 C.1 D.-2 【答案】A 【解析】因为z=1+i,所以=1-i. 而z2=(1+i)2=2i,=(1-i)2=-2i, 所以z2+=0.故选A. 8.设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为

.

【答案】2 【解析】∵z(2-3i)=6+4i,∴z== ==2i.故|z|==2. 9.若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-1|=x,则复数z对应的点Z(x,y)的轨迹方程为

.

【答案】y2=2x-1(x≥0) 【解析】由|z-1|=x,得|(x-1)+yi|=x,因此(x-1)2+y2=x2(x≥0),整理,得y2=2x-1(x≥0). 10.当实数m取何值时,复数z=(m2-3m+m2i)-[4+(5m+6)i]为实数?为虚数?为纯虚数? 【解】先把复数z整理成z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i. (1)当m2-5m-6=0,即m=-1或m=6时,z是实数. (2)当m2-5m-6≠0,即m≠-1且m≠6时,z是虚数. (3)当即

也即m=4时,z是纯虚数. 11.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.[来源:Zxxk.Com]

【解】∵(z1-2)(1+i)=1-i,∴z1=2-i. 设z2=a+2i,a∈R. z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1·z2∈R,∴a=4.故z2=4+2i. 12.已知复数z1=2+i,2z2=, (1)求z2; (2)若△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,且μ=cos A+2icos2,求|μ+z2|的取值范围.[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:学§科§网Z§X§X§K]

【解】(1)z2====-i. (2)在△ABC中,∵内角A,B,C依次成等差数列, 2∴B=60°,A+C=120°.又μ+z2=cos A+2icos-i =cos A+i=cos A+icos C, ∴|μ+z2|2=cos2A+cos2C=+ =cos(A+C)cos(A-C)+1 =1+cos120°cos(A-C) =1-cos(A-C). ∵A+C=120°,∴A-C=120°-2C. 因此-120°

13.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围; (2)设u=,求证:u为纯虚数; (3)求ω-u2的最小值. 【解】(1)∵z是虚数,∴可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0, 故ω=z+=x+yi+=x+yi+ =x++i. ∵ω是实数且y≠0,∴y-=0. 因此x2+y2=1,即|z|=1.此时ω=2x. ∵-1<ω<2,∴-1<2x<2,从而有-

(2)证法一:u=====-i, ∵x∈,y≠0,∴≠0.故u为纯虚数. 证法二:∵z为虚数,且|z|=1,∴z·=1,即=. 于是u+=+=+=+=+=0.[来源:学科网]

故u为纯虚数. (3)ω-u2=2x-=2x+=2x+=2x+=2x-1+=2(x+1)+-3, ∵-0. 于是ω-u2=2(x+1)+-3 ≥2-3=1, 当且仅当2(x+1)=,即x=0时等号成立. 故ω-u2的最小值为1,此时z=±i.