学习总结报告获奖说课稿

选修4-5

不等式选讲

教学设计

安顺市第一高级中学

张永洪

一

考情解读

考点1

不等式的性质

考点2

绝对值不等式

考点3

证明不等式的基本方法

考法1

绝对值不等式的解法

考法2

含有绝对值的恒成立、存在性、参数范围的问题

考法3

不等式的证明

考法4

利用基本不等式求最值

二

考纲解读

1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: |a+b|≤|a|+|b|. |a-b|≤|a-c|+|c-b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c. 3.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 三

命题规律和命题分析预测

1.分析预测

从近五年的考查情况来看,选修4-5是高考的考查热点,主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式

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的证明,多以解答题的形式呈现,难度中等,分值10分. 2.学科素养

主要考查考生的数学运算能力、分类讨论思想和数形结合思想的应用. 四

考法指导

1.含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法

(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立问题中的参数范围问题. 求最值的思路:①利用基本不等式和不等式的相关性质解决;②将函数解析式用分段函数形式表示,作出函数图象,求得最值;③利用性质“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值. (2)更换主元法:求解含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法. (3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可更直观解决问题. 注意

不等式的解集为R是指不等式恒成立问题,而不等式的解集为A的对立面也是不等式恒成立问题,如f(x)>m的解集为A,则f(x)≤m恒成立. 2.不等式能成立问题

(1)在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立,等价于在区间D上f(x)max>A;

2

(2)在区间D上存在实数x使不等式f(x)

(1)不等式f(x)>A在区间D上恰成立,等价于不等式f(x)>A的解集为D; (2)不等式f(x)

不等式的证明

证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法.如果已知条件与待证结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的,则考虑用反证法.在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明,用换元法证明不等式时,要注意新元的取值范围.证明不等式常用的思路:利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义将问题转化为函数问题求解. 四

示例讲解

含有绝对值的恒成立、存在性、参数范围的问题

示例1

[2017全国卷Ⅲ,23,10分][文]已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. 思路分析

(1)先去绝对值符号,将f(x)化为分段函数,然后分段讨论求解不等式即

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可; (2)要使f(x)≥x2-x+m的解集非空,只需m≤[f(x)-x2+x]max,求解可得m的取值范围. 示例2

设函数f(x)=x+|x-a|. (1)当a=2 018时,求函数f(x)的值域; (2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立时a的取值范围.

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