2.基本不等式教学目标

3.4基本不等式

【教学目标】

（第一课时）教案

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情感态度与价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 【重点难点】

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程；

难点：基本不等式等号成立条件.

【教学过程】

一．情景引入，提高兴趣

基本不等式

的几何背景：

如下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.会标中含有怎样的几何图形？你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？(教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.)

二.

问题牵引，探究发现

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如下图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为

.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为

.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab.

22

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形 缩为一个点，这时有

. 2．得到结论：一般的，如果

，

，那么

（当且仅当

时取“

”号）. 3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：∵

当

时，

，当

时，

.

∴

.

4．从三个不同的角度认识基本不等式

1）通过重要不等式认识基本不等式

.

特别的，如果

，

,我们用a,b分别代替

、

，可得

，

通常我们把上式写作：

，

.

2）从不等式的性质推导基本不等式

证明：要证

(1) 只要证

(2) 要证（2），只要证

（3）

要证（3），只要证

（4）

显然，（4）是成立的. 当且仅当

时，（4）中的等号成立.

3）理解基本不等式

的几何意义

探究：课本第98页的“探究”

在下图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式

的几何解释吗？

易证 ∽ ，那么

，即

.

这个圆的半径为，显然，它大于或等于 ，即

，其中当且仅当点C与圆心重合，即

时，等号成立. 因此：基本不等式

评述：1.如果把

几何意义是“半径不小于半弦”

看作是正数

、

的等差中项，

看作是正数

、

的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.

在数学中，我们称

为

、

的算术平均数，称

为

、

的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

三.

讲练结合，巩固提升

例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 解：（1）设矩形菜园的长为 ，宽为 ，则

，篱笆的长为

.

则由

2

，可得

，当且仅当

，即

时等号成立. ∴

.

∴

这个矩形的长、宽都为 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 . （2）解法一：

设矩形菜园的长为 ，宽为

,则

即

, 矩形菜园的面积为

. 由

2

可得

，可得

. 当且仅当

即

时，等号成立. 解法二：设矩形菜园的宽为 ，则长为18x,其中0x18，其面积

＝

x(18x)[x(18x)2]81,当且仅当x18x，即

时菜园面积最大，即菜园长2 ，宽为 时菜园面积最大为

.

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m.

2

归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若

，

且

＋

＝

，

为定值，则

，当且仅当

＝ 时等号成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若

，

，且 ＝

，

为定值，则

＋

，当且仅当

＝ 时等号成立. 利用基本不等式求最值时，要注意

①各项皆为正数；

“一正”

②和或积为定值；

“二定”

③注意等号成立的条件.

“三相等”

※动手试试

练1. （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

练2. （1）

x0时，当x取什么值时，x（2）若x0，x1的值最小？最小值是多少？如果x[2,4]呢？

x1又有最什么值呢？

x

四. 归纳总结

分享收获：

1.本节课，我们学习了重要不等式

；两正数

，

的算术平均数（何平均数（

）及它们的关系（

），几

）.它们成立的条件不同，前者只要求

，

都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：

，

. 2.在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等. 五．学习评价，课后作业

课本第100页练习题2、3题，A组第2、3题.