复习参考题ppt配套教案板书设计

芜湖市汤沟中学

2017-2018学年第一学期

§3.4

基本不等式

复习参考题

复习目标:1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 教学过程：

一、知识梳理

1．重要不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)．

2．基本不等式：ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件是a>0，b>0．

(2)等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中数．

3．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：4和定积最大)．

【重要结论】

a＋b2(a，b∈R)．

1．ab≤2a＋b2a＋b≤2.(a，b∈R)．

2222a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均p23.＋≥2(ab>0)．

baab备课人：汤德芳

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4.21＋≤ab≤≤

12a＋ba2＋b22(a>0，b>0)．

ab课前准备：

1．下列不等式不一定成立的是（ ）

A．a2＋b2≥2ab

B．a2＋3＞2a

11C．x＋≥2 D．a2＋2≥2 xa11解析

选项C中，若x<0，则x＋<0，所以x＋≥2不一定成立．答案

C xx2．当0

111A．1 B. C. D.

248x＋1－x21＝，当且仅当x＝1－x，

解析

x(1－x)≤241即x＝时，等号成立．答案

B 23．下列不等式一定成立的是（ ）

121A．lgx＋>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) 4sin xC．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.1>1(x∈R)

x2＋11321解析

取x＝，则lgx＋＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，422故排除B；取x＝0，则1＝1，故排除D，应选C. x2＋1二、课堂互动

重点突破

►知识点1 利用基本不等式求最值

例1

已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为（

）

A．8

B．4

C．2

D．0 11x＋2y2，又x＋2y＝xy，解

解法一

∵x>0，y>0，∴xy＝(x·2y)≤×222备课人：汤德芳

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1x＋2y2. ∴x＋2y≤×22由x>0，y>0知x＋2y>0，所以x＋2y≥8，∴x＋2y的最小值为8. 12解法二

由x＋2y－xy＝0得x＋2y＝xy，即＋＝1，∴x＋2y＝(x＋yxx4y122y)＋＝4＋＋≥4＋2yxyx【答案】

A 【母题变式】

x4y·＝8，当且仅当x＝2y时取等号，故选A. yx211．若把本例的条件改为已知正数x，y满足x＋2y＝1，则＋的最小值为xy________．

4yx21解析

＋＝(x＋2y)＋＝4＋＋≥4＋2xyxyxy212y时等号成立．

答案

8 112．若把本例的条件改为“已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2”，求＋的x3y最小值．

解析

由于lg 2x＋lg 8y＝lg 2x＋lg 23y＝lg 2x＋3y＝lg 2. 所以2x＋3y＝2，即x＋3y＝1. 113yx11∴＋＝(x＋3y)＋＝2＋＋≥2＋2x3yx3yx3y113y时等号成立，故＋的最小值为4. x3y●小结

利用基本不等式求最值的方法

(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：

①具备条件——正数；②验证等号成立．

(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．

(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常备课人：汤德芳

4yx·＝8.当且仅当x＝xy3yx·x＝4，当且仅当x＝3y

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采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．

变式训练

x2－2x＋21．已知x>1，则的最小值为________．

x－1x2－2x＋2（x2－2x＋1）＋1（x－1）2＋11解析

＝＝＝(x－1)＋.∵x－1x－1x－1x－1x>1，∴x－1>0，∴(x－1)＋1≥2x－1（x－1）×1＝2，当且仅当x－1＝x－11，即x＝2时等号成立．

x－1答案

2 ►考点2 不等式的实际应用

例2 某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.

(1)试用x，y表示S；

(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？

解

(1)由题意可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，

所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)y－33＝1 808－3x－83y(x>3，y>3)．

4 80081 800≤1 808－2 (2)解法一

S＝1 808－3x－×＝1 808－3x＋x3x3x×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝1 800＝45，

4 800x，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝x备课人：汤德芳

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所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．

4 800(x>3)，

解法二

设S＝f(x)＝1 808－3x＋x则f′(x)＝4 800x2－3＝3（40－x）（40＋x）x2. 令f′(x)＝0，则x＝40，

当00；当x>40时，f′(x)<0. 所以当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45，

所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．

●小结

利用基本不等式求解实际应用题的注意事项

(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

变式训练

2．为迎接2017年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p＝3－2(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生x＋1产该产品还需投入成本(10＋2p)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为204＋元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

p(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．

20解析

(1)由题意知，y＝4＋p－x－(10＋2p)，

p将p＝3－24代入化简得：y＝16－－x(0≤x≤a)．

x＋1x＋144×（x＋1）＝13，当且仅当＝x＋1x＋14＋x＋1≤17－2(2)y＝17－x＋1x＋1，即x＝1时，上式取等号．

备课人：汤德芳

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当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

4＋x＋1在[0，a]上单调递增，

当a<1时，y＝17－x＋1所以x＝a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．

综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；

当a<1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．

三、课后作业

1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(

) A．[0，2]

B．[－2，0] C．[－2，＋∞)

D．(－∞，－2] 2．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）

A．80元

B．120元

C．160元

D．240元

3．若m，n>0，且m＋2n＝1，则＋的最小值为________．

11mn4．函数y＝x＋4(x>1)的最小值是________．

x－15．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．

备课人：汤德芳