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离散型随机变量的均值与方差教学设计

一教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求均值或期望

过程与方法：理解二项分布和两点分布均值的计算公式，能熟练地应用他们求相应的离散型随机变量的均值或方差

情感，态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值

二教学重点：离散型随机变量的均值或方差的概念

三教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值和方差

四授课类型：复习授课

五课时安排：2课时

六教具：多媒体，实物投影仪

七教学过程：

复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量

表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3．连续型随机变量:

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:

离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

5.

分布列: ξ

x1

P1

x2

P2

…

…

xi

Pi

…

…

P 6. 分布列的两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；

⑵P1+P2+…=1．

7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记错误！未找到引用源。＝b(k；n，p)．

ξ

0 错误！未找到引用源。

1 错误！未找到引用源。

…

…

k 错误！未找到引用源。

…

…

n 错误！未找到引用源。

P 8.几何分布： g(k，p)= 错误！未找到引用源。，其中k＝0,1,2,…，

错误！未找到引用源。．

ξ

1 2 3 错误！错误！未找错误！未找未找用源。

9.数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ

P x1

p1

x2

p2

…

…

xn pn

…

…

错误！未找到引用源。

…

k …

P 到引用源。

到引用源。

到引…

…

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则称

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。…错误！未找到引用源。… 为ξ的数学期望，简称期望．

10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。…错误！未找到引用源。，则有错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。…错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。…错误！未找到引用源。，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

12. 期望的一个性质: 错误！未找到引用源。

13.若ξ错误！未找到引用源。B（n,p），则Eξ=np

二、讲解新课：

1.

方差:

对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，…，错误！未找到引用源。，…，且取这些值的概率分别是错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，…，错误！未找到引用源。，…，那么, 错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。＋…＋错误！未找到引用源。＋…

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的错误！未找到引用源。是随机变量ξ的期望．

2. 标准差:错误！未找到引用源。的算术平方根错误！未找到引用源。叫做随机变量ξ的标准差，记作错误！未找到引用源。．

3.方差的性质：（1）错误！未找到引用源。；（2）错误！未找到引用源。；

（3）若ξ～B(n，p)，则错误！未找到引用源。np(1-p)

4.其它：

⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

三、讲解范例：

例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为

ξ

1 2 3 4 5 6 错误！错误！错误！错误！错误！错误！未找P 到引到引到引到引到引到引未找未找未找未找未找用源。

用源。

用源。

用源。

用源。

用源。

从而

错误！未找到引用源。; 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。.

例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

甲单位不同职位月工资X1/元

获得相应职位的概率P1

1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1 第

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乙单位不同职位月工资X2/元

获得相应职位的概率P2

1000 0.4 1400 0.3 1800 0.2 2000 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得

EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1

= 1400 ,

DX1 = (1200-1400)

×0. 4 + (1400-1400 ) ×0.3

+ (1600 -1400 )×0.2+(1800-1400) ×0. 1 = 40 000 ;

EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,

DX2 = (1000-1400)×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)×0.2 + (2200-1400 )×0.l

= 160000 .

因为EX1 =EX2, DX1

例3．设随机变量ξ的分布列为

ξ

1 错误！未找到引P 用源。

求Dξ

解：（略）错误！未找到引用源。,

错误！未找到引用源。

例4．已知离散型随机变量错误！未找到引用源。的概率分布为

错误！未找到引用源。

P 1 错误！未找2 错误！未找3 错误！未找4 错误！未找5 错误！未找6 错误！未找7 错误！未找引用源。

2 错误！未找到…

到引用源。

…

n 错误！未找2222222到引用源。

到引用源。

到引用源。

到引用源。

到引用源。

到引用源。

到引用源。

离散型随机变量错误！未找到引用源。的概率分布为

错误！未找到引用源。

3．7 3．8 错误！未找3．9 4 4．1 4．2 4．3 P 错误！未找错误！未找错误！未找错误！未找错误！未找错误！未找到引用源。到引用源。

到引用源。

到引用源。

到引用源。

到引用源。

到引用源。

[ :学 ]求这两个随机变量期望、均方差与标准差

解：错误！未找到引用源。；

错误！未找到引用源。；错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。；

错误！未找到引用源。=0.04, 错误！未找到引用源。. 点评：本题中的错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。都以相等的概率取各个不同的值，但错第

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误！未找到引用源。的取值较为分散，错误！未找到引用源。的取值较为集中．错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，方差比较清楚地指出了错误！未找到引用源。比错误！未找到引用源。取值更集中．

错误！未找到引用源。＝2，错误！未找到引用源。=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平

解：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。+（10-9）错误！未找到引用源。；

同理有错误！未找到引用源。

由上可知，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．

点评：本题中，错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．错误！未找到引用源。=9，这时就通过错误！未找到引用源。=0.4和错误！未找到引用源。=0.8 比较错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况

例6．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

0 A机床

1

2 0.06

3 0.04

0 B机床

1 2 0.04 3 0.10 次品数ξ1

概率P 次品数ξ1

概率P 0.7 0.2 0.8 0.06 问哪一台机床加工质量较好

解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差

Dξ1=（0-0.44）×0.7+（1-0.44）×0.2+（2-0.44）×0.06+（3-0.44）×0.04=0.6064, Dξ2=（0-0.44）×0.8+（1-0.44）×0.06+（2-0.44）×0.04+（3-0.44）×0.10=0.9264. ∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习：

1 .已知错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的值分别是（

）

A．错误！未找到引用源。；

B．错误！未找到引用源。；

C．错误！未找到引用源。；

D．错误！未找到引用源。

答案：1.D

2.

一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，第

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即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．

解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则

P（ξ=0）=错误！未找到引用源。

当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

P（ξ=1）=错误！未找到引用源。

当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

P（ξ=2）=错误！未找到引用源。

当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=错误！未找到引用源。

所以，Eξ=错误！未找到引用源。 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1 ，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ

分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ错误！未找到引用源。B（200，1 ），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算

解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ错误！未找到引用源。B（200，1 ）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1 ，q=99 ，所以，Eξ=200×1 =2,Dξ=200×1 ×99 =1.98 4. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4 分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论

证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p

则 Dξ=（0-p）×(1-p)+(1-p)×p=p(1-p) 错误！未找到引用源。

5. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：

ξA

P 110 0.1 120 0.2 125 0.4 130 0.1 135 0.2

ξB

P 100 0.1 115 0.2 125 0.4 130 0.1 145 0.2 2 2其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好

分析：

两个随机变量ξA和ξB

都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上解：先比较ξA与ξB的期望值，因为

EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, 看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算

证明我们猜想的正确性

EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125. 所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为

DξA=(110-125)×0.1+(120-125)

×0.2+(130-125)×0.1+(135-125)×0.2=50，

DξB=(100-125)×0.1+(110-125)

×0.2+(130-125)×0.1+(145-125)×0.2=165. 所以，DξA < DξB.因此，A种钢筋质量较好

6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5第

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2 2 2 22 2 2 2

个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？

分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般

说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用

解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题

意，可得ξ的分布列为

ξ

P 0 错误！未找到引用源。

5 错误！未找到引用源。

25 错误！未找到引用源。

100 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

答：一张彩票的合理价格是0．2元．

五、小结

：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．

⑵对于两个随机变量错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。，在错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。相等或很接近时，比较错误！未找到引用源。和

错误！未找到引用源。，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 六、课后作业：

P69练习1,2,3

P69 A组4

B组1,2

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